材料力学讲义

第一章绪论及基本概念§1−1材料力学的任务要想使结构物或机械正常地工作，必须保证每一构件在荷载作用下能够安全、正常地工作。因此，在力学上对构件有一定的要求：1．强度，即材料或构件抵抗破坏的能力；2．刚度，即抵抗变性的能力；3．稳定性，承受荷载时，构件在其原有形态下的平衡应保持为稳定平衡§1−2可变性固体的性质及基本假设可变性固体：理学弹性体、小变性基本假设：1．连续、均匀性；2．各项同性假设。§1−3内力、截面法、应力求内力量000zyxFFF000zyxMMM§1−4位移和应变的概念线位移：AA'角位移：θFNxFNyFNzMxMyMzxyzΔzΔxΔyΔyΔxΔuγγKK'θAA'xuxx0lim称为K点处沿x方向的线应变直角的改变量γ称为切应变。§1−5杆件变性的基本形式1．轴向拉伸或轴向压缩2．剪切3．扭转4．弯曲FFFFFFMMMM第二章轴向拉伸和压缩§2−1轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸或轴向压缩变形是杆件基本变形之一。轴向拉伸或压缩变形的受力及变形特点是：杆件受—对平衡力F的作用(图2−1)，它们的作用线与杆件的轴线重合。若作用力F拉伸杆件(图2−1)则为轴向拉伸，此时杆被拉长(图2−1虚线)；若作用力F压缩杆件(图2−2)则为轴向压缩，此时杆将缩短(图2−2虚线)。轴向拉伸或压缩也称简单拉伸或压缩，或简称为拉伸或压缩。工程中许多构件，如单层厂房结构中的屋架杆(图2−3)、各类网架结构的杆件(图2−4)等，这类结构的构件由荷载引起的内力其作用线与轴线重合，杆件发生轴向拉伸或压缩。轴向拉伸或压缩的杆件的端部可以有各种连接方式，如果不考虑其端部的具体连接情况，其计算简图均可简化为图2−1和图2−2。§2−2内力·截面法·轴力及轴力图一、横截面上的内力——轴力图2−5a所示的杆件求解横截面m−m的内力。按截面法求解步骤有：可在此截面处假想将杆截断，保留左部分或右部分为脱离体，移去部分对保留部分的作用，用内力来代替，其合力FN，如图2−5b或图2−5c所示。对于留下部分Ⅰ来说，截面m−m上的内力FN就成为外力。由于原直杆处于平衡状态，故截开后各部分仍应维持平衡。根据保留部分的平衡条件得FFmmFFNFFN（a）（b）)）（c）)）图2−5ⅠⅡⅠⅡ图6-3图2−3屋架杆图2−1图2−2FFFF图2-4FFFFFxNN,0,0(2−1)式中，FN为杆件任一截面m−m上的内力，其作用线也与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心，故称这种内力为轴力，用符号FN表示。若取部分Ⅱ为脱离体，则由作用与反作用原理可知，部分Ⅱ截开面上的轴力与前述部分上的轴力数值相等而方向相反(图2−5b,c)。同样也可以从脱离体的平衡条件来确定。二、轴力图当杆受多个轴向外力作用时，如图2−7a，求轴力时须分段进行，因为AB段的轴力与BC段的轴力不相同。要求AB段杆内某截面m−m的轴力，则假想用一平面沿m−m处将杆截开，设取左段为脱离体(图2−7b)，以FNⅠ代表该截面上的轴力。于是，根据平衡条件∑Fx＝0，有FFⅠN负号表示的方向与所设的方向相反，即为压力。要求BC段杆内某截面n-n的轴力，则在n−n处将杆截开，仍取左段为脱离体（图2−7c），以FNⅡ代表该截面上的轴力。于是，根据平衡条件∑Fx＝0，有02NⅡFFF由此得FFNⅡ在多个力作用时，由于各段杆轴力的大小及正负号各异，所以为了形象地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”(图2−7d)。作法是：以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的坐标轴为x轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。正值绘在基线上方，负值绘在基线下方，如图2−7d所示。例题2−1一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆的轴力图。FFmmFFNFFN（a）（b）)）（c）)）图2−6ⅠⅡⅠⅡm)）n)）F)）F)）2F)）A)）B)）C)）F)）FNⅠ)）m)）m)）n)）n)）F)）2F)）FNⅡ)）A)）A)）B)）（a）（b）B)）（c）FN)）图2−7)）（d）)）mn解：首先对杆件进行受力分析，求出支反力FR（图b）。由整个杆的平衡方程020255540,0RxFF得kN10RF在求AB段内任一截面上的轴力时，在任一截面1−1处截断，取左段为脱离体（图c），并设轴力FN1为拉力。由平衡方程求出：kN101NRFF其结果为正值，故FN1为拉力。同理，可求得BC段任一截面上的轴力（图d）为kN5040N2RFF在求CD段内的轴力时，将杆截开后宜取右段为脱离体，因为右段杆比左段杆上包含的外力较少，并设轴力FN3为拉力（图e）。由kN5020250N3N3FF,Fx结果为负值，说明原假定的FN3的指向与实际相反，应为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力FN4为kN204N4FF按轴力图作图规则，作出杆的轴力图f。FNmax发生在BC段内的任一横截面上，其值为50kN。§2−3应力·拉（压）杆内的应力一、拉（压）杆横截面上的应力600)）300)）500)）400)）A)）B)）C)）D)）E)）40kN)）55kN)）25kN)）20kN)）（a）)）A)）B)）C)）D)）E)）40kN)）55kN)）25kN)）20kN)）FR)）1)）1)）FR)）FN1)）A)）FN2)）FR)）A)）B)）40kN)）2)）2)）223344FN3)）25kN)）20kN)）D)）33（b）)）（c）)）（d）)）（e）)）10)）50)）5)）20)）FN图（kN）)）（f）)）例题2−1图)）FN4)）20kN)）44如图2−8a，为一等截面直杆，假定在未受力前在该杆侧面作相邻的两条横向线ab和cd,然后使杆受拉力F作用(图6−8b)发生变形，并可观察到两横向线平移到a′b′和c′d′的位置且仍垂直于轴线。这一现象说明：杆件的任一横截面上各点的变形是相同的，即变形前是平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于杆的轴线，称为平面假设。根据这一假设，横截面上所有各点受力相同，内力均匀分布，内力分布集度为常量，即横截面上各点处的正应力σ相等(见图2−8c、d)。由静力学求合力的概念AσAσAσFAAddN即拉压杆横截面上正应力σ计算公式AFσN(2−2)式中，FN为轴力；A为杆的横截面面积。由式（2−2）知，正应力的正负号取决于轴力的正负号，若FN为拉力，则σ为拉应力，若FN为压力，则σ为压应力，并规定拉应力为正，压应力为负。例题2−2图a所示横截面为正方形的砖柱分上、下两段，柱顶受轴向压力F作用。上段柱重为G1，下段柱重为G2。已知：F＝10kN，G1=2.5kN，G2＝10kN，求上、下段柱的底截面a−a和b−b上的应力。解：(1)先分别求出截面a−a和b−b的轴力。为此应用截面法，假想用平面在截面a−a和b−b处截开，取上部为脱离体(图b、c)。根据平衡条件可求得：截面a−a：kN5.125.210,01NGFFFay负号表示压力。截面b−b：kN5.42105.21033,021NGGFFFby负号表示压力。（2）求应力，由式(6−2)AFσN分别将截面a−a和b−b的轴力FNa、FNb和面积Aa、Ab代入，得截面a−a：MPa217.0Pa1017.224.024.0105.1253NaaaAFσ负号表示压应力。mFFNFFN（a）（b）)）（c）)）图2−8FFmσσFFa'b'c'd'bacd（d）)）截面b−b：MPa3100101033703701054253Nb.Pa....AFσbb负号表示压应力。§2−4拉压杆的变形·胡克定律实验表明，杆件在轴向拉力或压力的作用下，沿轴线方向将发生伸长或缩短．同时，横向（与轴线垂真的方向）必发生缩短或伸长，如图2−10、2−11所示，图中实线为变形前的形状，虚线为变形后的形状。设l与d分别为杆件变形前的长度和直径，l1与d1为变形后的长度与直径，则变形后的长度改变量△l和直径改变量△d将分别为dddlll11ΔΔ(b)(a)△l和△d称为杆件的绝对纵向和横向伸长或缩短，即总的伸长量或缩短量。其单位为m或mm。杆的变形程度用每单位长度的伸长来表示，即绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，称为线应变，并用符号ε表示。对轴力为常量的等直杆，其纵、横方向的线应变分别为FG1G2FF37000例题2−2图（a）aabbFFNaG1a－a（b）FG1G2FNbb－b（c）FFFF图2−10ll1dd1图2−11FFll1dd1ddεllεΔΔ6)(25)(2ε为纵向线应变。ε＇为横向线应变。它们都是量纲为一的量。规定，△l和△d伸长为正，缩短为负；ε和ε＇的正负号分别与△l和△d一致，因此规定：拉应变为正，压应变为负。实验表明，在弹性变形范围内，杆件的伸长△l与力F及杆长l成正比，与截面面积A成反比，即AFllΔ(c)引进比例常数Ｅ，则有EAFllΔ（2—8）由于F=FN，故上式可改写为EAlFlNΔ9)(2这一关系式称为胡克定律。式中的比例常数E称为弹性模量，其单位为Pa。EA称为杆的抗拉（压）刚度。将式（2－9）改写成AFEllN1Δ(d)由于llεΔ，AFσN代入，可得εEσEσε或(210)此式表明，在弹性变形范围内，应力与应变成正比。式（2−8）、（2−9）、(2−10)均称为胡克定律。实验结果表明，在弹性变形范围内，横向线应变与纵向线应变之间保持一定的比例关系，以ν代表它们的比值之绝对值εεν11)(2ν称为泊松比，它是量纲为一的常数，其值随材料而异，可由实验测定。考虑到纵向线应变与横向线应变的正负号恒相反，故有νεε12)(2弹性模量E和泊松比ν都是材料的弹性常数。例题2−4图示一等直钢杆，材料的弹性模量E＝210GPa。试计算：(1)每段的伸长；(2)每段的线应变；(3)全杆总伸长。解：（1）求出各段轴力，并作轴力图（图（b））。（2）AB段的伸长ΔlAB。由式（2−9）得mm6070m000607041010102102105Δ6293N..πEAlFlABABABBC段的伸长：mm607.0m1007.641010102102105Δ46293NπEAlFlBCBCBCCD段的伸长：mm607.0m1007.641010102102105Δ46293NπEAlFlCDCDCD（3）AB段的线应变εAB。根据式（2−5）410035320006070Δ..llεABABABBC段的线应变：410035320006070Δ..llεBCBCBCCD段的线应变：410035320006070Δ..llεCDCDCD（4）全杆总伸长：mm607.0607.0607.0607.0ΔΔΔΔCDBCABADllll在轴力和横截面均沿轴线变化的情况下，拉(压)杆任意核截面上的应力σ(x)和全杆的变形Δl可按下面的公式计算：)()()(NxAxFxldxEAxFl0N)(§2−6材料在拉伸和压缩时的力学性能一、低碳钢拉伸时的力学性能1．试件（a）（b）5kN10kN10kN5kN2m2m2m5kN5kN5kN轴力图例题2−4图ABCD10mm把低碳钢制成一定尺寸的杆件，称为试件。在进行拉伸试验时，应将材料做成标准试件，如图2−12所示，取试件中间l长的一段(应是等直杆)作为测量变形的计算长度(或工作长度)，称为标矩。通常对圆截面标准试件的标距l与其横截面直径d的比值加以规定，l=10d或l=5d。2．试验设备通常使用的设备称为万能试验机，其基本工作原理是通过试验机夹头或承压平台的位移，使放在其中的试件发生变形，在试验