南京人口管理干部学院高等数学试卷

海临电脑制作中心制作1南京人口管理干部学院2010—2011学年第一学期《高等数学》考试模拟试卷一．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）1．设010,)(2xxxxxf，020,2)(xxxxxg，则))((xfg=.2．已知214)(1limcosln10xxxxf，则30)(limxxfx=.3．nnnxxxf2211lim)(的间断点是.4．设函数)(xyy由方程xyxyxsin)ln(32确定，则0xdxdy.5．设tytxcos12，则22dxyd=.6.曲线xyln上的并与直线1yx垂直的切线方程为.二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.已知)(xf在],(ba上连续且)(limxfax存在，则（）（A）)(xf在],(ba上无界（B）)(xf在),[ba上无界(C))(xf在],(ba上有界（D）)(xf在),[ba上有界2.设当0x时，)1ln()cos1(2xx是比nxxsin高阶的无穷小，而nxxsin是比)1(2xe高阶的无穷小，则正整数n等于（）（A）1（B）2(C)3（D）43.设数列}{nx与}{ny满足0limnnnyx，则下列正确的是（）（A）若}{nx发散，则}{ny必发散（B）若}{nx无界，则}{ny必有界(C)若}{nx有界，则ny必为无穷小（D）若}1{nx为无穷小，则ny必为无穷小4.设函数)(uf可导，)(2xfy，当自变量x在1x处取得增量1.0x时，相应的函数增量y的线性主部为1.0，则)1(f值为（）海临电脑制作中心制作2（A）1（B）1.0(C)1（D）5.05.函数||)2()(32xxxxxf不可导点的个数（）（A）3个（B）2个(C)1个（D）0个三、解答题：(每小题8分，共24分)1．确定常数a，b的值，使函数0001)cos2()(222xxxxbaxxxfxx在),(上连续.2．设)(xf为单调可导函数，其反函数为)(yg，且已知2)1(f，31)1(f，1)1(f，求)2(g.3.设)376ln(2xxy，)1(n，求)(ny.四、证明题（每小题8分，共32分）1．设101x，),2,1(61nxxnn，试证数列}{nx极限存在，并求此极限.2．设)(xf在1x处连续，且313)(lim1xxxfxx，证明：)(xf在1x处可导，并求)1(f.3．设)(xf在]3,0[上连续，且)3()0(ff，证明至少存在一点]2,0[，使)1()(ff.4.设函数()fx在（,）上有定义,在区间[0,2]上,2()(4)fxxx,若对任意的x都满足()(2)fxkfx,其中k为常数.1)写出()fx在[2,0]上的表达式;2)问k为何值时,()fx在0x处可导.《高等数学A》考试试卷答案一．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分1.解22,01,013,1xxgfxxxxx海临电脑制作中心制作32.条件0ln141limln2lncosxxfxx002/ln441limlimln21cos12xxxfxfxxxx2301limln2ln4ln22xfxx3.解1,10,11,1xfxxx，故间断点是1x4.解23223cosxyxyxyxxy，当0x时，1y代入上式得01y5.解223sincos4dytttdxt6.解1yx二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.因limxefx存在，则对,,xaa，有2Mfx，而在,ab在fx连续故有界即2Mfx，故选C.2.241cosln(1)()xxox，1sin()nnxxox，221()xeox，故有412,2nn3.1limlim0nnnnnnyxyx，选D4.22dyfxxdx，1,0.1120.10.1xdxdyf，所以10.5f5.0xx在0xx处不可导，但00xxxx在0xx处一阶可导，可知fx在0,1x三、解答题：(每小题8分，共24分)1.解:当0x时，2222cosxfxxx是初等函数，故它在,0上连续，222222200ln2cos2cos1limlim220000limlim2cosxxxxxxxxxxxffxxxeee海临电脑制作中心制作4当0x时，ln111xxbbfxexx也是初等函数，故在0,上也连续，ln0001ln00limlim1limlnxbxxxxbffxebxx，从而为使fx在,上连续必须且只需fx在0x处连续，即0000lnffaeb故当,eaebe时，fx在,上连续。2.解0000000300000111limlimxxxxfxfxfxfxfxxxggfxfxfxfxxxfxfxfx令001,2xy，故32331123113fgf3.解：因为26733123xxxx2ln673ln31ln23yxxxx故11111111132111331233211!11!311!211!312313323211!13123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxxxxnnnnxxxxnnxx海临电脑制作中心制作511111111132111331233211!11!311!211!312313323211!13123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxxxxnnnnxxxxnnxx四、证明题（每小题8分，共32分）1.证明：由110x及211616xxx，设对正整数k有1kkxx，则有11266kkkkxxxx由数学归纳法得1,1nnxxn.即nx为单调递减数列。显然0nx，1n，即nx有下界，所以limnnx存在。令limnnxa，对16nnxx两边取极限，得66a从而260aa，因此3a，2a舍去，即lim3nnx。2.证明：由13lim31xxfxxx，1lim30xxfxx即11lim2xffx又111ln113213limlimlim11111limlim11xxxxxxxxxfxxfxxxxxfxfexx因为ln111111lim3lim3lim4111xxxxxfxfxxexxx,所以fx在1x处可导，且14f3.证明：海临电脑制作中心制作6令1Fxfxfx，显然Fx在0,2上连续，0120112230FFFffffff.若10F，取1，则有1ff；若10F，由0120FFF，则0,1,2FFF必有两个值相互不同号，由零点定理，存在0,2，使0F，即1ff，证毕。4.1)当20x,即022x时,()(2)fxkfx2(2)[(2)4](2)(4)kxxkxxx.2)由题设知(0)0f.200()(0)(4)(0)limlim40xxfxfxxfxx00()(0)(2)(4)(0)limlim80xxfxfkxxxfkxx.令(0)(0)ff,得12k.即当12k时,()fx在0x处可导.