材料力学教案

第二篇杆件的基本变形（2学时）重点：材料力学的任务，变形固体性质的基本假设难点：理解强度、刚度、稳定性的概念第4章基本知识§4.1材料力学的任务建筑物承受荷载而起骨架作用的部分，称为结构。组成结构或机械的单个部分则称为构件或零件。如：桥梁的桥墩、桥面等。每一构件都应满足一定的条件，这些条件主要是指经济与安全。所谓经济是指构件应采用适当的材料并使截面尺寸最小（消耗最少的材料）；安全则是指构件在受力或受外界因素（如温度改变、地基沉陷等）影响时，应同时满足强度、刚度及稳定性三方面的要求。即：安全包括三个方面：（1）足够的强度──构件具有足够的抵抗破坏的能力；（2）足够的刚度──构件具有足够的抵抗变形的能力，即要把变形控制在一定的范围内；（3）足够的稳定性──构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。构件在强度、刚度和稳定性三方面所具有的能力统称为构件的承载能力。经济与安全是一对矛盾的两个方面。而材料力学就是要解决这一矛盾，即是研究构件在各种外力或外界因素影响下的强度、刚度和稳定性的原理及计算方法的科学。包括对材料的力学性质的研究。这就是材料力学的任务。§4.2可变形固体的性质及其基本假设任何固体在外力作用下都要产生形状及尺寸的改变──即变形。外力大到一定程度构件还会发生破坏，这种固体称为“变形固体”。承认构件的变形，是材料力学研究问题、解决问题的基本前提。变形包括：（1）弹性变形──外力去掉后可消失的变形；（2）塑性变形──外力去掉后不能消失的变形。关于变形固体性质的基本假设：1．连续性假设：材料内部连续、密实地充满着物质而毫无空隙；2．均匀性假设：材料沿各部分的力学性能完全相同；3．各向同性假设：材料沿各方向的力学性能完全相同。这样的材料称为各向同性材料，否则称为各向异性材料。4．小变形假设：认为受力后构件的变形与其本身尺寸相比很小。小变形包括两方面含义：（1）变形与原始尺寸在量级上进行比较，很小；（2）变形对外力的影响很小──不会显著改变外力的作用位置或不产生新的外力成分。§4.3材料力学主要研究对象（杆件）的几何特征所谓杆，是指其纵向（沿长度方向）尺寸比其横向（垂直于长度方向）尺寸大得多的构件。我们常见的柱、梁和传动轴等均属于杆。杆件的两个几何元素：1．横截面：垂直于杆件长度方向的截面称为杆的横截面。2．轴线：各横截面形心的连线称为杆的轴线。直杆的轴线为直线；曲杆的轴线为曲线。横截面沿杆轴不变者称为等截面杆；改变者称为变截面杆。杆轴线为直线，横截面沿杆轴又不变者称为等截面直杆，简称等直杆。§4.4杆件变形的基本形式作用在构件上的荷载是各种各样的，因此，杆件的变形形式就呈现出多样性，并且有时比较复杂。但分解来看，变形的基本形式却只有四种。PPPP(a)拉伸(b)压缩PP(c)剪切TTMM(d)扭转(e)弯曲1．轴向拉伸或轴向压缩在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件将发生伸长或缩短变形，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。其受力特性为外力的作用线与杆件的轴线重合。变形特征为杆件沿轴线方向伸长或缩短。2．剪切在一对相距很近的大小相等、方向相反、作用线与杆轴线垂直的外力作用下，杆的主要变形是横截面沿外力作用方向发生错动。这种变形形式称为剪切。其受力特性为一对大小相等、方向相反的外力的作用线与杆轴线垂直且相距很近。变形特征为横截面沿外力作用方向发生相对错动。3．扭转在一对大小相等、转向相反、作用面与杆轴线垂直的外力偶作用下，杆件的横截面轴线任意两横截面将绕轴线发生相对转动，这种变形形式称为扭转。其受力特性为外力偶的作用平面与杆轴线垂直。变形特征为任意两相邻横截面绕杆轴线发生相对转动。4．弯曲在杆的一个纵向平面内，作用一对大小相等、转向相反的外力偶，这时杆将在纵向平面内弯曲，任意两横截面发生相对倾斜，这种变形形式称为弯曲。其受力特性为外力偶的作用平面在含杆轴线在内的纵向平面内。变形特征为杆件的轴线由直线变为曲线，任意两横截面发生相对倾斜。工程中常用构件在荷载作用下的变形，在很多情况下都包含有两种或两种以上的基本变形，我们把这种变形形式称为组合变形。第6章轴向拉伸和压缩（12学时）学生首次接触基本变形的计算，讲课的重点与难点应为：1.讲清基本概念；2.理清分析问题的思路。§2-1轴向拉伸和压缩的概念受轴向拉伸的杆件称为拉杆；受轴向压缩的杆件称为压杆。受力特征：外力（或其合力）的作用线与杆轴线重合；变形特征：沿轴向伸长或缩短。实例：起重机吊绳、千斤顶等。PPPP轴向拉伸轴向压缩§2-2内力·截面法·轴力及轴力图一、内力内力──物体一部分对另一部分的作用。注意：这里的内力是指附加内力，是外力作用后所引起的内力改变。二、截面法·轴力受外力作用而处于平衡的物体，其内力可用截面法显示并确定。用截面法求构件内力可归纳为以下三个步骤：1．截开在需要求内力的截面处，假想地将杆截分为两部分；2．代替取截开后的任一部分作为研究对象（称为隔离体），并把弃去部分对保留部分的作用以截开面上的内力代替；3．平衡对保留部分即隔离体建立平衡方程，计算内力的大小和方向。如图所示拉杆，由截面法可得m-m截面上的内力N=PPP(a)P(b)P(c)NmmmmmmN在此说明取左、右部分为研究对象，结果相同。由于拉压杆横截面上的内力N的作用线与杆轴线重合，因此，拉压杆的内力也称为轴力。符号规定：拉杆的变形是轴向伸长，其轴力为正，称为拉力，方向是背离截面的；压杆的变形是轴向缩短，其轴力为负，称为压力，方向是指向截面的。必须指出，在采用截面法之前，不能随意使用静力学中力（或力偶）的可移性原理，以及力的等效代换。因为这样就会改变构件的变形性质，并使内力也随之改变。但在截开后建立隔离体的平衡方程时，则可以使用力的等效代换及可移性原理。三、轴力图为了表明轴力随横截面位置的变化情况，通常作出轴力图。其作法如下：选取一定的比例尺，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图形，称为轴力图。通常将正值的轴力画在上侧，负值的画在下侧。举例说明。§2-3横截面及斜截面上的应力要解决强度问题，不仅要知道构件沿哪个截面破坏，而且要知道从其上哪一点破坏。应力──是受力构件某一截面分布内力在一点处的集度。一、应力的概念平均应力──Appm一般地说，截面上的分布内力并不是均匀的，故平均应力pm的大小和方向将随所取微面积ΔA的大小而不同。为表明分布内力在M点处的集度，令ΔA→0，则得ΔP/ΔA的极限值p，即dAdPAppA0limp称为M点处的总应力，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常将总应力沿截面的法向和切向分解为两个分量，即cosp，sinp法向分量称为正应力，切向分量称为剪应力。MPAMp二、拉（压）杆横截面上的应力在拉（压）杆横截面上，轴力N的作用线与横截面垂直，且通过横截面的形心，因此，分布在横截面上各点的应力只有正应力。为计算正应力，可首先考查杆件在受力后表面上的变形情况，并由表及里地推出反映杆件内部变形情况的几何关系，再根据力与变形间的物理关系，得到应力在截面上的变化规律，最后再通过应力与内力的静力学关系，得到应力的计算公式。下面就以上述方法，来推导等直拉（压）杆横截面上的正应力计算公式。1．几何方面根据实验现象，提出如下著名的平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面。由这一假设可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相等。即，拉杆在其任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。2．物理方面应力是伴随着变形同时产生的，且与杆的变形程度有关。既然各点的变形程度相同，则我们可以认为，横截面上各点的正应力也是相等的。3．静力学方面根据静力学求合力的方法AAAdAdAdNN即得拉杆横截面上正应力的计算公式AN式中N为轴力，A为杆的横截面面积。对压杆，此式同样适用。常用的应力单位为：Pa、kPa、MPa、GPa。其中1Pa=1N/m2、1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1Gpa=109Pa。正应力的符号规定：以拉为正，以压为负。必须指出，作用在杆件上的轴向外力，一般是外力系的静力等效力系，在外力作用点附近的应力比较复杂，并非均匀分布。但圣唯南原理指出：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横截面尺寸的范围内的应力分布受到影响”。根据这一原理，除了外力作用点附近以外，都可用上式计算应力。当等直杆受几个轴向外力作用时，杆内的最大正应力为ANmaxmax最大轴力所在横截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为最大工作应力。举例说明。三、拉（压）杆斜截面上的应力由平衡方程ΣX=0，可得斜截面k-k上的内力PNPP1212仿照横截面上正应力分布规律的分析过程，同样可得到斜截面上各点处的总应力p是均匀分布且与杆轴平行的结论。设斜截面k-k的外法线n与杆轴线的夹角为，则横截面面积cosAA，于是有coscos0APANp式中AP0为横截面上的正应力。总应力p是矢量，可将它沿截面的法向和切向分解为两个分量：正应力和剪应力。它们为2sin2sincossincoscos0020pp（c）这就是拉(压)杆斜截面上的正应力計算公式。其中自杆轴转至斜截面的外法线，以逆时针为正，顺时针为负。正应力及剪应力的符号规则同前所述。使用公式时注意连同符号代入运算。由式（c）可知：1．和都是的函数。即同一点处的应力随过该点的斜截面的方向不同而改变。2．当=00时，=0，它是中的最大值，即杆内任一点处的最大正应力发生在杆的横截面上。3．当=450时，=20，它是中的最大值，即杆内任一点处的最大剪应力发生在450斜截面上，其值等于该点处最大正应力的一半。4．当=900时，=0，=0，即在杆的纵向截面上无应力存在。通过以上分析，我们已经清楚地了解了拉（压）杆内任一点处各个不同方向截面上的应力情况。我们把通过一点的所有不同方向截面上应力情况的总和称为该点处的应力状态。由式（c）可知，在所研究的拉（压）杆中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力0即可完全确定，这样的应力状态就称为单向应力状态。§2-4拉（压）杆的变形·虎克定律kkPpPPPkkp一、拉（压）杆的变形1．纵向变形拉（压）杆的原长为L，受力变形后其长度变为L1，则杆的绝对伸长为ΔL=L1-L绝对线变形ΔL的大小与原长度有关。为了更好地说明杆件变形的程度，引进相对线变形LL式中──相对线变形，是一个无量纲的量，表示单位长度的纵向变形（当沿杆长度均匀变形时），常称为纵向线应变，简称为线应变。当为正时，对应于拉伸，称为拉应变；当为负时，对应于压缩，称为压应变。当沿杆长度为非均匀变形时，dxdxxxxx0lim2．横向变形拉（压）杆在纵向变形的同时产生横向变形。设杆的原有横向尺寸为d，受力变形后变为d1，故其横向变形为Δd=d1-d在均匀变形情况下，其相应的横向线应变为dd由于压杆的Δd与其ΔL的符号向反，故横向线应变与纵向线应变的正负号相反。二、虎克定律对工程中常用的材料，经大量的实验表明，当杆内的应力不超过材料的某一极限（比例极限）时，力与变形之间存在以下关系:APLL引进比例常数E，则EANLEAPLL（a）式中的比例常数E称为弹性模量，它表示材料在拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，其量纲为[力]/[长度]2，单位为帕。E的数值随材料而异，是通过实验测定的。EA称为杆的抗拉（抗压）刚度，对于长度相等且受力相同的拉（压）杆，其抗拉（压）刚度越大，则杆件的变形越小。以AN和LL代入（a）式，则得E（b）式（a）与式（b）是虎克定律的两种不同的表达方式。前者是针对杆的，只适用于受轴PPL1Ld1d+ABB'向外力的杆件。后者是针对杆中一点的，而拉（压）杆中任一点的应力状态是单向应力状