第六章弯曲内力(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

1第六章弯曲内力一、教学目标和教学内容1、教学目标⑴掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念；⑵熟练掌握用截面法求弯曲内力；⑶熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图；⑷利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；⑸掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。2、教学内容⑴平面弯曲等基本概念；⑵截面法及简便方法求弯曲内力；⑶剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；⑷用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；⑸叠加法绘制剪力图和弯矩图。二、重点难点1、平面弯曲的概念；2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；3、剪力图和弯矩图；4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时7学时五、实施学时2六、讲课提纲1、平面弯曲的概念及梁的种类⑴平面弯曲的概念简单回顾轴向拉、压：图6-1受力：pF作用在横截面上，作用线与杆轴线重合。变形；沿轴线方向的伸长或缩短。剪切：图6-2受力：pF作用在杆的两侧面上，作用线⊥轴线。变形：两相邻截面（力作用部位，二力之间）发生相对错动。扭转：图6-33受力：T作用在垂直于杆轴的平面内（横截面内）。变形：相邻截面发生相对转动。弯曲：讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围；①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）图6-4②载荷作用在对称平面内在此前提下，可讨论杆件弯曲的受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内：图6-54变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。⑵何谓梁？凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。⑶梁的种类：①简支梁图6-6②悬臂梁图6-75③外伸梁图6-8④多跨静定梁图6-9⑤超静定梁图6-1062、梁的内力及其求法⑴梁的内力—剪力与弯矩①确定约束反力图6-11②内力分析用截面法沿m-m截面截开（任取一段）图6-12按平衡的概念标上QF,M。QF--与横截面相切—剪力M—内力偶矩—弯矩7③内力值的确定用静力平衡条件：0yF0QAFF得AQFF0oM0MaFA得aFMA（O--截面形心）⑵剪力、弯矩的正、负号规定：剪力：当截面上的FQ使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之为负。图6-13弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹向上时为正），反之为负。图6-148⑶求指定截面上的剪力和弯矩图6-15求图示梁截面A、C的内力：解：①求反力：kN5AF，kN4BF校核：0yF06BApFFqF045613(无误)②求指定截面上的内力：截面A左（不截到AF）：0yF0左QApFFkN左3PQAFF（使该段有逆时针转动的趋势）0OM02左ApMF图6-16mkN左623AM（上拉下压）9截面A右（截到AF）：0y0AQApFFF左N左kFQA2350OM02右ApMF图6-17mkN右623AM截面C左（不截到M1）：0yF02左QCPAFqFF0235左QCF0OM01224左CApMqFF图6-181212543左CMmNk4截面C右（截到M1）：0yF02右QCPAFqFF0235右QCF0OM012241右CApMMqFF21212543右CM图6-19mkN610⑷小结基本规律①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。②在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。③梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。④梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩。另外，若考虑左段梁为脱离体时，在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。113、剪力图和弯矩图为了知道FQ、M沿梁轴线的变化规律，只知道指定截面上的FQ、M是不够的，并能找到maxQF、maxM的值及其所在截面，以便对梁进行强度，刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。⑴剪力方程和弯矩方程梁内各截面上的FQ、M一般随横截面的位置不同而变化，横截面位置若用沿梁轴线的坐标x来表示，则梁内各横截面上的FQ、M都可以表示为坐标x的函数，即)(xFFQQ剪力方程)(xMM弯矩方程在建立)(xFQ、)(xM时，坐标原点一般设在梁的左端。⑵剪力图和弯矩图根据)(xFQ、)(xM，我们可方便地将QF、M沿梁轴线的变化情况形象地表现出来，其方法是横坐标x---横截面位置纵坐标QF或M---按比例表示梁的内力QF、M画在横坐标的上边QF、M画在横坐标的下边⑶剪力图、弯矩图的特点：（举例说明）12例题6-1：图6-20解：⑴求约束反力整体平衡，求出约束反力：lFFPA；lFFPB注意；约束反力的校核13⑵分段列)(xFQ、)(xM注意：三定①定坐标原点及正向原点：一般设在梁的左端；正向：自左向右为正向。②定方程区间即找出分段点；分段的原则：载荷有突变之处即为分段点。③定内力正负号截面上总设正号的剪力、弯矩。三定后即可建立)(xFQ、)(xM列)(1xFQ、)(1xM：AC段：（根据图b列方程）lbFFxFPAQ)(1（0x1a）⑴111)(xlbFxFxMPA（0≤x1≤a）⑵CB段：（图c）PPPAQFlbFFFxF)(2（ax2l）⑶)()()(22222axFxlbFaxFxFxMPPPA（a≤x2≤l）⑷⑶绘FQ、M图据式⑴、⑶作FQ图，如图（d）所示。14据式⑵、⑷作M图，如图（e）所示。⑷确定maxQF、maxM据FQ图可见，当ab时，laFFPQmax据M图可见，c截面处有，labFMPmax若a=b=l/2,则4maxlFMP特点之一：在集中力作用处，FQ图有突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力的大小；PPPPFbalFlaFlbF)(；图有一转折点，形成尖角。（M图的切线斜率有突然变化）例题6-215图6-21AC段：lMFxFOAQ)(1（0x1≤a）⑴111)(xlMxFxMOA（0≤x1a）⑵CB段：lMFxFOAQ)(2（a≤x2l）⑶OOOAMxlMMxFxM222)(（ax2≤l）⑷若ab,则集中力偶左侧截面上有最大弯矩laMMOmax特点之二：在集中力偶作用下，弯矩图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力偶矩的大小；OOOMlbMlaM；但剪力图没有突变。（FQ图连续，并不改变斜率）。16例题6-3图6-22qxqlqxFxFAQ2)(（0xl）⑴222)(22qxqlxqxxFxMA（0≤x≤l）⑵由FQ、M图可见：支座处：2maxqlFQFQ=0处：82maxqlM特点之三：从例题8-1（集中力）、例题8-2（集中力偶）、例题8-3（均布荷载）可以看到：在梁端的铰支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点铰支座上没有集中力偶的作用，则铰支座处的弯矩等于零。17例题6-4图6-23qxxFQ)(（0≤x≤l）⑴2)(2qxxM（0≤x≤l）⑵在固定端处：qlFQmax22maxqlM特点之四：在梁的外伸自由端点处，如果没有集中力偶的作用，则端点处的弯矩等于零；如果没有集中力的作用，则剪力等于零。18特点之五：在固定端处，剪力和弯矩分别等于该支座处的支座反力和约束力偶矩。特点之六：最大剪力、最大弯矩及其位置。最大剪力发生位置：梁的支座处及集中力作用处有maxQF，例题6-3及6-4最大弯矩一般发生在下列部位；①集中力作用的截面处例题6-1②集中力偶作用的截面处例题6-2③FQ=0处，M有极值例题6-3④悬臂梁的固定端处例题6-4（外伸梁的支座处往往也有maxM）例题6-519图6-24特点之七：在梁的中间铰上如果没有集中力偶作用，则中间铰处弯矩必等于零，而剪力图在此截面处不发生突变。例题6-6再分析例题6-1；集中作用在l/2处图6-2620再分析例题6-3：简支梁承受均布载荷图6-27特点之八：对称结构、对称载荷，FQ图反对称，M图对称，据此特点，下面这道题即可方便作出FQ、M图（只要列出一半的剪力、弯矩方程即可作图）21图6-25210)(xxqxxq5)(AC段：25.210521)(xxxFxFAQ（0xl）⑴365103)5(21)(xxxxxxFxMA（0≤x≤2）⑵根据特点之八，可画出整个梁的FQ、M图22例题6-7图6-26特点之九：对称结构，反对称载荷，FQ图对称，M图反对称。特点之十：梁中正、负弯矩的分界点称为反弯点，反弯点处M=0，构件设计中确定反弯点的位置具有实际意义。234、)(xq、)(xFQ、)(xM之间的微分和积分关系。留心例题6-1到例题6-4；特别是例题6-3、例题6-4，可以发现：dxxdM)()(xFQ，)()(xqdxxdFQ。是否普遍存在着这样的关系？⑴)(xq、)(xFQ、)(xM之间的微分关系。图6-27取dx一段讨论，任设)(xFQ、)(xM均为正值。0yF0)]()([)()(xdFxFdxxqxFQQQ)()(xqdxxdFQ⑴式⑴的物理意义：梁上任一横截面上的剪力)(xFQ对x的一阶导数dxxdFQ)(，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度)(xq。式⑴的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度)(xq，就是剪力图上相24关点处的斜率。0OM0)()(2)()()(xdMxMdxdxxqdxxFxMQ略去高阶微量)()(xFdxxdMQ⑵式⑵的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩)(xM对x的一阶导数dxxdM)(，等于该截面上的剪力)(xFQ。式⑵的几何意义：任一横截面处的剪力)(xFQ，就是弯矩图上相关点处的斜率。对⑵式的两边求导，则)()()(22xqdxxdFdxxMdQ⑶式⑶的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩)(xM对x的二阶导数22)(dxxMd，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度)(xq数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此：式⑶的几何意义：可以根据)(xM对x的二阶导数的正、负来定出)(xM图的凹向。⑵根据)(xq、)(xFQ、)(xM之间的微分关系所得出的一些规律：①若)(xq=0∵dxxdFQ)(=)(xq=0，即)(xFQ=常数∴QF图为一水平直线；25又∵)()(xFdxxdMQ=常数，即M图的斜率为一常数∴M图为一斜直线。并且当0QF时，M图为上升的斜直线（/）；当0QF时，M图为下降的斜直线（\）.②若0)(xq（即分布荷载向下）∵dxxdFQ)(=q0∴QF图为一下降的斜直线（\）又∵0)(QFdxxdM∴M图下降。再∵0)(22qdxxMd∴M图为一凹向下的曲线（∩）③若0)(xq（即分布荷载向上）∵dxxdFQ)(=q0∴QF图为一上升的斜直线（/）又∵0)(QFdxxdM∴M图