微分几何习题及答案解析

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微分几何主要习题解答26第一章曲线论§2向量函数5.向量函数)(tr具有固定方向的充要条件是)(tr×)('tr=0。分析:一个向量函数)(tr一般可以写成)(tr=)(t)(te的形式,其中)(te为单位向量函数,)(t为数量函数,那么)(tr具有固定方向的充要条件是)(te具有固定方向,即)(te为常向量,(因为)(te的长度固定)。证对于向量函数)(tr,设)(te为其单位向量,则)(tr=)(t)(te,若)(tr具有固定方向,则)(te为常向量,那么)('tr=)('te,所以r×'r='(e×e)=0。反之,若r×'r=0,对)(tr=)(t)(te求微商得'r='e+'e,于是r×'r=2(e×'e)=0,则有=0或e×'e=0。当)(t=0时,)(tr=0可与任意方向平行;当0时,有e×'e=0,而(e×'e2)=22'ee-(e·'e2)=2'e,(因为e具有固定长,e·'e=0),所以'e=0,即e为常向量。所以,)(tr具有固定方向。6.向量函数)(tr平行于固定平面的充要条件是(r'r''r)=0。分析:向量函数)(tr平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(tn,使)(tr·n=0,所以我们要寻求这个向量n及n与'r,''r的关系。证若)(tr平行于一固定平面π,设n是平面π的一个单位法向量,则n为常向量,且)(tr·n=0。两次求微商得'r·n=0,''r·n=0,即向量r,'r,''r垂直于同一非零向量n,因而共面,即(r'r''r)=0。反之,若(r'r''r)=0,则有r×'r=0或r×'r0。若r×'r=0,由上题知)(tr具有固定方向,自然平行于一固定平面,若r×'r0,则存在数量函数)(t、)(t,使''r=r+'r①微分几何主要习题解答27令n=r×'r,则n0,且)(tr⊥)(tn。对n=r×'r求微商并将①式代入得'n=r×''r=(r×'r)=n,于是n×'n=0,由上题知n有固定方向,而)(tr⊥n,即)(tr平行于固定平面。§3曲线的概念3.证明圆柱螺线r={acos,asin,b}()的切线和z轴作固定角。证明'r={-asin,acos,b},设切线与z轴夹角为,则cos=22||||'baberkr为常数,故为定角(其中k为z轴的单位向量)。10.将圆柱螺线r={atcos,atsin,bt}化为自然参数表示。解'r={-atsin,atcos,b},s=tbadtrt220|'|,所以22bast,代入原方程得r={acos22bas,asin22bas,22babs}§4空间曲线1.求圆柱螺线x=atcos,y=atsin,z=bt在任意点的密切平面的方程。解'r={-atsin,atcos,b},''r={-atcos,-atsin,0}所以曲线在任意点的密切平面的方程为0sincoscossinsincostatabtatabtztaytax=0,即(btsin)x-(btcos)y+az-abt=0.2.求曲线r={ttsin,ttcos,tte}在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。微分几何主要习题解答28解原点对应t=0,'r(0)={tsin+ttcos,tcos-ttsin,te+tte0}t={0,1,1},)0(''r{2tcos+ttcos,tcos-ttsin,2te+tte0}t={2,0,2},所以切线方程是110zyx,法面方程是y+z=0;密切平面方程是202110zyx=0,即x+y-z=0,主法线的方程是00zyzyx即112zyx;从切面方程是2x-y+z=0,副法线方程式111zyx。3.证明圆柱螺线x=atcos,y=atsin,z=bt的主法线和z轴垂直相交。证'r={-atsin,atcos,b},''r={-atcos,-atsin,0},由'r⊥''r知''r为主法线的方向向量,而''r0k所以主法线与z轴垂直;主法线方程是0sinsincoscosbtzttayttax与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。4.在曲线x=coscost,y=cossint,z=tsin的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面。解'r={-cossint,coscost,sin},''r={-coscost,-cossint,0}|'''|'''rrrr{sinsint,-sincost,cos}新曲线的方程为r={coscost+sinsint,cossint-sincost,tsin+cos}对于新曲线'r={-cossint+sincost,coscost+sinsint,sin}={sin(-t),cos(-t),sin},''r={-cos(-t),sin(-t),0},其密切平面的方程是微分几何主要习题解答2900)sin()cos(sin)cos()sin(sinsincoscoscostataatataatztaytax即sinsin(t-)x–sincos(t-)y+z–tsin–cos=0.5.证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证方法一:设一曲线为一球面曲线,取球心为坐标原点,则曲线的向径)(tr具有固定长,所以r·'r=0,即曲线每一点的切线与其向径垂直,因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径,也就通过其始点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点,以此定点为坐标原点建立坐标系,则r·'r=0,)(tr具有固定长,对应的曲线是球面曲线。方法二:()rrt是球面曲线存在定点0r(是球面中心的径矢)和常数R(是球面的半径)使220()rrR02()0rrr,即0()0rrr(﹡)而过曲线()rrt上任一点的法平面方程为()0rr。可知法平面过球面中心(﹡)成立。所以,曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。7.求以下曲面的曲率和挠率⑴},sinh,cosh{attatar,⑵)0)}(3(,3),3({323attaatttar。解⑴},cosh,sinh{'atatar,}0,sinh,cosh{''tatar,}0,cosh,{sinh'''ttar,}1,cosh,sinh{'''ttarr,所以tatatarrrk2323cosh21)cosh2(cosh2|'||'''|微分几何主要习题解答30tataarrrrr22422cosh21cosh2)'''()''','','(。⑵}1,2,1{3'22tttar,}1,0,1{6'''},,1,{6''arttar,'r×''r=}1,2,1{18222ttta,22322223)1(31)1(2227)1(218|'||'''|tatatarrrk22224232)1(31)1(2182618)'''()''','','(tataarrrrr。8.已知曲线}2cos,sin,{cos33tttr,⑴求基本向量,,;⑵曲率和挠率;⑶验证伏雷内公式。分析这里给出的曲线的方程为一般参数,一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率,我们也可以利用定义来求。解⑴}4,sin3,cos3{cossin}2sin2,cossin3,sincos3{'22tttttttttr,,cossin5|)('|tttrdtds(设sintcost0),则}54,sin53,cos53{|'|'ttrr,}0,cos53,sin53{cossin51ttttdsdtdtd,}0,cos,{sin||tt,}53,sin54,cos54{tt,⑵ttkcossin253||,}0,cos,sin{cossin254tttt,由于与方向相反,所以ttcossin254||⑶显然以上所得,,,k满足,k,而}0,sin,{coscossin51tttt也满足伏雷内公式。9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点,则此曲线是直线。证方法一:取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r=)(tr,则曲线在任意点的切线方程是)(')(trtr,由条件切线都过坐标原点,所以微分几何主要习题解答31)(')(trtr,可见r∥'r,所以r具有固定方向,故r=)(tr是直线。方法二:取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r=)(tr,则曲线在任意点的切线方程是)(')(trtr,由条件切线都过坐标原点,所以)(')(trtr,于是'r=''r,从而'r×''r=0,所以由曲率的计算公式知曲率k=0,所以曲线为直线。方法三:设定点为0r,曲线的方程为r=()rs,则曲线在任意点的切线方程是()()rss,由条件切线都过定点0r,所以0()()rrss,两端求导得:()()ss,即(1)()0s,而(),()ss无关,所以10,可知0,()0s,因此曲线是直线。10.证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点,则此曲线是平面曲线。证方法一:取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r=)(tr,则曲线在任意点的密切平面的方程是0))('')('())((trtrtr,由条件0))('')('()(trtrtr,即(r'r''r)=0,所以r平行于一固定平面,即r=)(tr是平面曲线。方法二:取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r=)(sr,则曲线在任意点的密切平面方程是0))((sr,由条件0)(sr,两边微分并用伏雷内公式得0)(sr。若0)(sr,又由0)(sr可知)(sr∥)(sr,所以r=)(sr平行于固定方向,这时r=)(sr表示直线,结论成立。否则0,从而知曲线是平面曲线。方法三:取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r=)(tr,则曲线在任意点的密切平面方程是0))('')('())((trtrtr,由条件0))('')('()(trtrtr,即(r'r''r)=0,所以r,'r,''r共面,若r∥'r,则r微分几何主要习题解答32=)(tr是直线,否则可设''',''''''rrrrrr,所以','','''rrr共面,所以0,从而知曲线是平面曲线。11.证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e,那么曲线是直线或平面曲线。证方法一:根据已知0e,若是常向量,则k=||=0,这时曲线是直线。否则在0e两边微分得·e=0,即k·e=0,所以·e=0,又因0e,所以∥e,而为单位向量,所以可知为常向量,于是
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