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专题五解析几何3.211,03EOxCEABCABCAOBE设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为过点的直线交椭圆于、两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆例的方程．2CABC本题利用构造等量关系，比利用圆锥曲线的性质构造等量关系降低了很多的切入点：运算量．考点1圆锥曲线中的最值（范围）问题2222221122122332301.231(23)420.()()4.23xyttmyxxytmyxxmymytAxyBxymyym因为椭圆的离心率为，故可设椭圆的方程为．设直线的方程为由，消去得设，，，．则解析①11221212221222(1)2(1)2.842323126||2366322||||AOBCABCxyxyyymmyymmSyymmmm又，故，，，即②由①②得，，则，221222222362223210.2323623102.10mmAOBtmyytmmxxyyE当，即时，的面积取最大值．此时，得所以，直线的方程为，椭圆的方程为与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：1．结合定义利用图形中几何量之间的大小关系．2．不等式(组)求解法：根据题意，结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围．3．函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．4．利用基本不等式．基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思．5．结合参数方程，利用三角函数的有界性．直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式．因此，它们的应用价值在于：(1)通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；(2)利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题．6．构造一个二次方程，利用判别式△≥0.2221(1)2,01(20123)31xCymmPCMCAMACmPAPAMAm已知椭圆：常数，点是上的动点，是的右顶点，定点的坐标为．若与重合，求的焦点坐标；若，求的最大值与最小值；若的最小值为，求实数的变式取1上海卷值范围．22214413(30)(30)1MAmxyc因为与重合，所以，椭圆方程为，所以半焦距，焦点坐解标和为析，，．2222222231()92219891()(2233)942945.23xmyPxyxPAxyxxxxPAxPA因为，椭圆方程为，设，，则，最小当时取得；当时取得值为最大值为22222222222222222222()122145124()5.()111021210111(1,12]2.3PxyxmPAxyxxxmmmmmxmxmmmmmPAxmmmmmmmmmm设动点，，则因为的最小值在时取到，且＞，所以，即且＞，解得＜所以的取值范围为．3,03,016.121(201|1)|||xOyABCABABABCCAMNBMBN在平面直角坐标系中，已知的顶点，的坐标分别为，，的周长为求顶点的轨迹方程；过点作直线，与中的曲线交于，两点，试判断是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请例2说太原一模明理由．考点2圆锥曲线中的存在性问题由动点的规律直接判断出动点的轨迹形状，再由待定系数法求得；设直线方程时，要注意斜率不存在的情况，最值问题关键是得①②到切入点：函数式．2222221026.1210534.1(0211)56CACBCABcxyaabacbxyCy因为为定值，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，焦距设椭圆方程为，且，易得，，所以点的轨迹方程为解析．1122222221222122()()903(0)139()(1)025168161500162522540016252MxyNxyMNykxkkkxkxkxxkkxxk设，，，，当直线的倾斜角不为时，设其方程为，代入椭圆方程化简，得，显然有，，，2222111112121222222222163||(3)(3)1652553||559||||2532545081144531144252516251625162514453153125.162525BMxyxxxBNxBMBNxxxxkkkkkkkk又，同理，所以222122144161445312553111616252500||||16.90334||||()165||||kkkkkBMBNMNxxBMBNBMBN只要考虑的最小值，即考虑取最小值．而，所以上式无最小值．显然时，取最小值当直线的倾斜角为时，，得，所以的最小值不存在．存在性问题，其一般解法是先假设结论存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则假设存在的结论成立；否则，不成立．4,01(2)(2)0.1211(02)ClxPPQlQPCPQPCPQPlykxABkABDk已知平面上一定点和一定直线：，为该平面上一动点，作，垂足为，且问点在什么曲线上？并求出该曲线的方程；设直线：与中的曲线交于不同的两点，，是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过点，？若存在，求出的值；若不存在，说变式2明理由．222222222()(2)(2)0.4044101.141412.21PxyPCPQPCPxQPCPQxyxyxPy设点的坐标为，．由得，所以，化简得所以点在双曲线上，该双曲线的方程为解析1122222212122222()()132130.1412213.3304431301313.222ABxyxyykxkxkxxykxxxxkkABkkk设、两点的坐标分别为，、，．由，得所以，因为直线与双曲线交于两点，所以，即，解得121212121212212122222(02)221122033013901321()390337141313()842.1244ADBDABDADBDyykkxxyyxxkxkxxxkxxkxxkkkkkkkkk因为若以为直径的圆过，，则，所以，即，所以，即，所以，即，解得，所以，．故满足题意的值存在，且的值为1212222,02,02.12,1FFPPFPFPEElFnalEPQaxMlFMPMQM已知，，点满足，记点的轨迹为求轨迹的方程；若直线过点且法向量为，设直线与轨迹交于、两点．①求实数的取值范围；②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说例3明理由．考点3圆锥曲线中的恒成立问题121212222|1(1)31|PFPFFFPFyxxF由，知点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，其方程为解析．222231(45)03MPMQmamma切入点利用恒成立，得对任意恒成立是解决问：题的关键．222222112220.234430.13()()2laxyyaxaxaxayxPxyQxy①易知直线的方程为由，得设，，，．242221222122230164343040343033(3)(3)aaaaaxxaaxxaaa由条件得，解得，即，，．121222221212222222222,01(2)43450331(45)03101.451,00MmMPMQMPMQxmxmyyaxxamxxmamamamammammMmm②假设存在点满足条件．因为，所以，得对任意恒成立，所以，解得因存在定点满此，足条件．1．“恒成立”(定值)问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题．2．解决“恒成立”(定值)问题的常用方法：(1)函数与方程方法：利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况进行研究．有些问题需要经过代换转化才是二次函数或二次方程．注意代换后的自变量的范围变化．(2)分离参数法：将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如a=f(x)或af(x)或af(x)恒成立的形式．则a=f(x)⇔a的范围是f(x)的值域；af(x)恒成立⇔a[f(x)]min；af(x)恒成立⇔a[f(x)]max.(3)若已知恒成立，则可充分利用条件(赋值法、数形结合等)．222222210.190xyabOxybabPOABOePAPBe已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为、①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；②若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取变式3值范围；22222ABxyMNabONOM设直线与轴、轴分别交于点、，求证：为定值．2222222222222222.902212.2221221OOexybbcbaccaceAPBOPbOPbaace因为圆过椭圆的焦点，圆：，所以，所以，所以，所以由及圆的性质，可得，所以，所以，所以，所②以解析①00112201101122010111222211112220022101020202002()()()..().PxyAxyBxyyyxxxyxxyyxyxybPAxxyybPBxxyybPAPBPxyxxyybxxyybABxxyyb设，，，，，，则，整理得因为，所以方程为：，同理方程为：、都过点，，所以且，故直线方程为2020222222222002224222222200.bxONyybyOMxxaybxabababbbONOMabONOMab令，得，令，得，所以，所以为定值，定值是1．圆锥曲线的综合问题包括与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，以及圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系．2．解答圆锥曲线的综合问题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算及推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整，达到解决这类问题的目的．