平面向量共线的坐标表示

2.3.4平面向量共线的坐标表示xyijxiyjaO1.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可得，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）12121212()()(,)abxxyyabxxyyaxy，，11222121(,),(,),(,).AxyBxyABxxyy若则11()axy，2.向量的坐标运算：22()bxy，3.平面向量共线定理：babba0//ba问题:如果向量，共线（其中≠），那么，满足什么关系？babba0思考:设=(x1，y1),=(x2，y2)，若向量，共线（其中≠），则这两个向量的坐标应满足什么关系？baabb0结论:设=(x1，y1),=(x2，y2),（其中）,当且仅当ba0b1221xy-xy=0a向量与向量共线。b1221//(0)0abbxyxy：即探究：1.?消去时能不能两式相除12122.?yyxx能不能写成1222,00,,0yybxy不能两式相除，有可能为，又中至少有一个不为12,,0.xx不能有可能为例6.已知a//b,且a=(4,2),b=(6,y),求y的值;已知a//b,且a=(x,2),b=(2,1),求x的值.解：∵a//b解：∵a//b∴4y-26=0×∴y=3练习：∴x-22=0∴x=41.(2,1),(,1),2,2,//,.abxababxmumu==-=+=-已知向量且求的值2x=-2.(3,4),(cos,sin),//,tan.ababaaa==已知向量且求的值4tan3a=3(12,5)121255131313125125125131313131313aABCD、与平行的单位向量是（）（）（，）（）（，）（）（，）或（，）（）（，）C4.已知a=(1,0),b=(2,1),当实数k为何值时,向量ka－b与a+3b平行?并确定它们是同向还是反向.解：ka－b=(k－2,－1),a+3b=(7,3),∵ka－b与a+3b平行这两个向量是反向。7例.已知A(-1，-1)，Ｂ(1，3)，C(2，5)，试判断A,B,C三点之间的位置关系.∵AB=（1-（-1），3-（-1））=（2，4）AC=（2-（-1），5-（-1））=（3，6）又∴AB∥AC∵直线AB、直线AC有公共点A，∴A、B、C三点共线。xy0●B●C●A××26-34=0，解法1:已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，ABCD向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0∴ABCD∥又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)AB=(2，4)，∴2×4-2×60ACAB∴与不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(1)M1212121()2(,)22OPOPOPxxyy解：（1）所以，点P的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxy1点P靠近点有：121111212112121212121若p则PP=PP,21OP=0P+PP=0P+PP31=0P+(0P-0P)321=0P+OP332x+x2y+y=(,)332x+x2y+y∴点P的坐标是(,)33解：（2）①解法二:xyOP1P2P121121111112212121212121111212设点P的坐标为（x,y）11若PP=PP,则PP=PP23PP=(x,y)-(x,y)=(x-x,y-y)11PP=(x-x,y-y)33x-xy-y=(,)33x-xy-y即(x-x,y-y)=(,)332x+x2y+y解得x=,y=33∴点P的12122x+x2y+y坐标是(,)33则有：121212pp=2pp,x+2xy+2y∴点P的坐标是(,)33xyOP1P2P②若点p靠近P2点时向量平行(共线)等价条件的两种形式:(1)a//b(b≠0)⇔a=λb;小结:11221221(2)a//b(a=(x,y),b=(x,y),b≠0)⇔xy-xy=0探究:12如图所示，当PP=λPP时，点P的坐标是什么？12111121211212121212若pp=λpp,则λOP=0P+PP=0P+PP1+λλ=0P+(0P-0P)1+λ1λ=0P+OP1+λ1+λx+λxy+λy=(,)1+λ1+λx+λxy+λy∴点P的坐标是(,)1+λ1+λ解:xyOP1P2P