平面向量基本定理及相关练习(含答案)

1平面向量2预习：1.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a和b，作bOBaOA,，则)0(AOB叫做向量a和b的夹角。（1）0时，a和b同向；（2）时，a和b反向；（3）2时，ba；（4）注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围是0。2.两向量共线的判定设),(),,(2211yxbyxa，其中0b。3.我们都学过向量有关的哪些运算？4.力做的功：的夹角。与是sFsW,cos|||F|讲授新课：1.平面向量的数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a和b，他们的夹角为，我们把数量的数量积（内积）。与叫做bacos|b||a|记为：ba，即cos||||baba规定：零向量与任一向量的数量积为0，即00a。2.投影的概念：cos|b|叫做ab在方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量。3.向量数量积（内积）的几何意义：数量积ba等于a的长度aba在与||||方向上的投影cos|b|的乘积。4.两个向量数量积的性质：设ba、为两个非零向量（1）baba=0（2）当a和b同向时，ba=||||ba当a和b反向时，ba=-||||ba2特别地，aaaaaa||||2或（3）|ba|||||ba（4）||||cosbaba（5）平面向量数量积的运算律：已知向量和实数、、cba，则①ba=ab（交换律）②))(()()(数乘结合律bababa③)()(分配律cbcacba5.平面两向量数量积的坐标表示：已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb两个向量数量积等于他们对应坐标的乘积的和，即2211yxyxba。6.平面内两点间的距离公式：（1）设22222||||),,(yxayxayxa或则；（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终边的坐标分别为),(),(2211yxyx、，那么：221221)()(||yyxxa（平面间两点的距离公式）。7.向量垂直的判定：设),(11yxa，),(22yxb则ba02121yyxx8.两向量夹角的余弦：（0）||||cosbaba=222221212121yxyxyyxx例1.已知),5,2(),3,2(),2,1(CBA试判断ABC的形状，并给出证明。3例2.在ABC中，),1(),3,2(kACAB，且ABC的一个内角为直角，求k的值。例3.已知)13,13(),3,1(ba，则ba与的夹角是多少？求与a垂直的单位向量的坐标是多少？例4.已知)1,1(),2,3(BA,若点)21,(xP在线段AB的中垂线上，则x例5、已知),1,(),1,2(mmba若a与b的夹角为锐角，求实数m的取值范围。同步练习：1、已知3,4ab,向量34ab与34ab的位置关系为（）A．平行BC．夹角为3D．不平行也不垂直2、在ABC中，),2(),1,1(kACAB，若ABC为直角三角形，求实数k的值。3、已知1,2ab,(1)若a∥b,求ba；(2)若a与b的夹角为60°，求ab(3)若ab与a垂4直，求a与b的夹角．4、已知ababa)(,2,1，则a与b的夹角是5、已知0,0),3()32(),334()3(bababababa，求a与b的夹角。6、已知四边形ABCD中AB=(6,1),BC=(x,y)，CD=(-2,-3),(1)若BC∥DA,试探究x与y间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC⊥BD,试求x,y的值及四边形ABCD的面积.5答案：1.B2.（-2或0）3.4.45度5.)66(arccos6.（1）02yx（2）16