全等三角形经典题型50题(含答案)

已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12CDAB已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC1.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C2.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEADBCDABCCDBABACDF21E6.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。.7.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C8已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CDCBAFEABCD9．已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE10．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．13．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：FAEDCBOEDCBA24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证明：延长BA、CE，两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CE25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，FEDCBAMFECBAFEDCBA∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）EM=FM（已证）∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）∴E，M，F在同一直线上31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．DCBAFDCBAFEDCBA证明：∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF得AE=AF33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC是公共边，所以AAS==三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以∠5=∠634．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．证明：因为AB=AC，所以∠EBC=∠DCB因为BD⊥AC，CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB(公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE＝CD36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF．AAS证△ＡＤＥ≌△ADFDBCcAFE654321EDCBAACBDEFAEBDCF37.已知：如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACBC=AE△ABC≌△DAEAD=AB=538．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC39.如图，给出五个等量关系：①ADBC②ACBD③CEDE④DC⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：求证：证明：已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以△ADB全等于△BCA所以角D=角C以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC因为∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C，∠A=∠B，所以2(∠A+∠D)=360°，∠A+∠D=180°，所以AB//DC40．在△ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；②BEADDE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.DCBAEBCMAFEABCＤＥ（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF（1）证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F（2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF连接BF、CE，证明△ABF全等于△DEC（SAS），然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共FBCAMNE1234AEBMCF边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如图,已知:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．证明：∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE，∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．求证：ABCD∥．证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴∠C=∠A，∴AB∥CD．47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD【待定】48、(10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.结论：CEDE。当∠AEB越小，则DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB90°∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB90°△DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/245°RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF45°∠AFB=90°-∠FBA45°∴ABAF∵AB=CEAF=DE∴CEDE49、(10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCBACEDBADECBFABECD.3421DCBA在证明△ABE≌△DCE得出AE=DE50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．证明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴