(完整版)习题7

某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。2、假设每次切割都准确无误。3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。5、假设钢管余料价值为0.6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。三、符号说明符号意义ix表示按照第i种切割模式（1,2,3,4i）切割的原料钢管的根数1ir第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm钢管的数量2ir第i种切割模式下每根原料钢管生产315mm钢管的数量3ir第i种切割模式下每根原料钢管生产350mm钢管的数量4ir第i种切割模式下每根原料钢管生产455mm钢管的数量P生产钢管过程所需要增加的总费用N所需钢管的总根数根据情况，我们忽略每根钢管的成本价，直接计算增加的总费用，即：minP=0.1x1+0.2x2+0.3x3+0.4x4总根数最少：minN=x1+x2+x3+x4假设条件x1=x2=x3=x4(4-1)满足客户需求的约束条件为:r11x1+r12x2+r13x3+r14x4≥15(4-2)r21x1+r22x2+r23x3+r24x4≥28(4-3)r31x1+r32x2+r33x3+r34x4≥21(4-4)r41x1+r42x2+r43x3+r44x4≥30(4-5)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm，也不能少于1750mm（余料不能大于100mm），于是1750≤15r11+28r21+21r31+30r41≤1850(4-6)1750≤15r12+28r22+21r32+30r42≤1850(4-7)1750≤15r13+28r23+21r33+30r43≤1850(4-8)1750≤15r14+28r24+21r34+30r44≤1850(4-9)最后，加上非负整数约束：xi，rji∈Z+，i=1,2,3,4j=1,2,3,4(4-10)于是，问题归结为在在约束条件（4-2）～（4-10）下，求xi和r1i，r2i，r3i，r4i（i=1,2,3）使目标（4-1）达到最小。显然这是线性整数规划模型。model:min=0.1*x1+0.2*x2+0.3*x3+0.4*x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;x1+x2+x3+x4=19;x1+x2+x3+x4=22;x1=x2;x2=x3;x3=x4;@gin(x1)；@gin(x2)；@gin(x3)；@gin(x4);@gin(r11)；@gin(r12)；@gin(r13)；@gin(r14);@gin(r21)；@gin(r22)；@gin(r23)；@gin(r24);@gin(r31)；@gin(r32)；@gin(r33)；@gin(r34);@gin(r41)；@gin(r42)；@gin(r43)；@gin(r44);End当花费P最少时，得到结果为:总共需要19根原料钢管。分别为:模式一：一根原料可以切割成315mm钢管2根，350mm钢管2根，455mm钢管1根，总共8根。模式二：一根原料可以切割成290mm钢管1根，315mm钢管2根，455mm钢管2根总共6根。模式三：一根原料可以切割成290mm钢管2根，350mm钢管1根，455mm钢管2根，总共5根。当总根数最少时，得到结果为:总共需要19根原料钢管。分别为：模式一：一根原料可以切割成290mm钢管1根，315mm钢管2根，455mm钢管2根，总共7根。模式二：一根原料可以切割成315mm钢管1根，350mm钢管3根，455mm钢管1根总共5根。模式三：一根原料可以切割成290mm钢管2根，315mm钢管1根，455mm钢管2根，总共4根。模式四：一根原料可以切割成315mm钢管2根，350mm钢管2根，455mm钢管1根，总共3根。综合两种情况，当两个目标函数取最小值时，所需的总根数都为19。如果选择总根数最小为目标函数，则切割模式增加一种，那么切割费用有所增加。为此选择切割费用最小为目标函数，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。