集合间的基本关系

对应学生用书P96基础达标一、选择题1．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若ØA，则A≠Ø.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①错误，空集是任何集合的子集，所以Ø⊆Ø；②错误，如Ø；③错误，空集不是空集的真子集；④正确，因为Ø是任何非空集合的真子集．答案：B2．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③Ø＝{Ø}；④{0}＝Ø；⑤Ø{Ø}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．6B．5C．4D．3解析：其中①，②，⑤，⑥是正确的，对于③应为Ø{Ø}或Ø∈{Ø}；对于④应为Ø{0}．答案：C3．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．15个解析：由题意知a∈M，但M≠{a，b，c，d}，因此符合条件的集合M有23－1＝7(个)．答案：B4．若A＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝4n－3，n∈Z}，C＝{x|x＝8n＋1，n∈Z}，则A，B，C之间的关系是()A．CBAB．ABCC．CA＝BD．A＝B＝C解析：∵B＝{x|x＝4n－3，n∈Z}＝{x|x＝4(n－1)＋1，n∈Z}，∴A＝B.又A＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}＝{x|x＝8n＋1或x＝8n＋5，n∈Z}，∴CA.即CA＝B.答案：C5．设集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P与Q的关系是()A．P⊆QB．P⊇QC．P＝QD．以上都不对解析：集合P是指函数y＝x2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数y＝x2图象上的点，故P，Q不存在谁包含谁的关系．答案：D6．设A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，若AB，则a的取值范围是()A．a≥2B．a≤1C．a≥1D．a≤2解析：如右图所示，借助数轴可得，要使AB，则a≥2，一定要注意端点值2可以取到，遇到类似问题，可代入验证．答案：A二、填空题7．设集合M＝{x|x2＋x＋2＝0}，N＝{x∈N|3x2－x＝0}，则集合M与N的关系是________．解析：M＝{x|x2＋x＋2＝0}＝Ø，N＝{x∈N|3x2－x＝0}＝{0}，故MN.答案：MN8．设集合A＝{2，a}，B＝{a2－2,2}，若A＝B，则实数a＝________.解析：a2－2＝a，且a≠2.答案：－19．设x、y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx＝1}，则A，B的关系为________．解析：集合A为直线y＝x上所有的点构成的集合，集合B为直线y＝x上除去(0,0)以外的点构成的集合，故BA.答案：BA三、解答题10．设集合A＝{x|a－2xa＋2}，B＝{x|－2x3}，若A⊆B，求实数a的取值范围．解：∵A⊆B，∴a－2≥－2，a＋2≤3.于是0≤a≤1.∴实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．11．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2010＋b2011.解：由A＝B，有a2＝1ab＝b或a2＝bab＝1，解方程组得a＝1b∈R或a＝－1b＝0或a＝1b＝1.由集合元素的互异性，知a≠1.∴a＝－1，b＝0，故a2010＋b2011＝1.创新题型12．已知集合A＝{x|1ax2}，B＝{x||x|1}，是否存在实数a，使其满足A⊆B，若存在，求出a的范围．解：B＝{x|－1x1}．(1)当a＝0时，A＝Ø，显然A⊆B.(2)当a0时，A＝{x|1ax2a}．∵A⊆B，∴1a≥－1，2a≤1，解得a≥2；(3)当a0时，A＝{x|2ax1a}，∵A⊆B，∴1a≤1，2a≥－1，解得a≤－2.综上可知：所求a的取值范围为：a≥2或a≤－2或a＝0.1．本节内容是高考热点，多以选择题、填空题的形式考查，常与方程、函数、不等式等内容结合命题．2．本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，让学生多结合实例，如通过类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系；在讲解集合间的关系时，建议重视使用Venn图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．【例1】已知U＝R，则正确表示集合U，M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}之间关系的Venn图是()思路分析：先求出集合N，进而确定集合M，N之间的关系，再选择Venn图即可．解析：由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}，则NMU.答案：B温馨提示：本题是两个集合关系的判断问题，其中两个集合的关系是用Venn图来呈现的，命题形式较为新颖．【例2】已知集合A＝{x|0x≤4}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则实数a的取值范围是ac，其中c＝________.思路分析：依据A⊆B求出a的取值范围，与已知ac比较，即可得到c的取值．解析：由A⊆B知集合A是集合B的子集，画出数轴，如右图，可知a4.又A⊆B时实数a的取值范围是ac，所以c＝4.答案：4温馨提示：解决与不等式有关的集合问题，除了将解题“切入口”集中在相关概念上，还要注意用数轴来辅助解决或检验．