搜索
创新实验班招生数学模拟试题一．选择题：（每小题4分，共40分）1．已知且，则的最小值为（）A.B.3C.D.132方程的整数解的解的个数（）A.0B.1C.3D.无穷多3．已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A、6圈B、6.5圈C、7圈D、8圈4.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个.现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是().A.14B.16C.18D.205.如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C．D．6.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，若要在该纸片中剪下两个外切的圆⊙O1和⊙O2，要求⊙O1和⊙O2的圆心均在对角线BD上，且⊙O1和⊙O2分别与BC、AD相切，则O1O2的长为（）A．cmB．cmC．cmD．2cm7.设a、b、c均为正数，若c（b+a）＜b（a+c）＜a（c+b），则a、b、c三个数的大小关系是（）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．c＜b＜a8.矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于（）．A.9.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是()A.164B.158C.168.D.15410.抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是()A、B、C、D、二．填空题：（每小题4分，共40分）11.若，则_________.12.方程的较大根为，方程的较小根为，则。13.如图，A、B是双曲线k0k上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k=．14.如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为．15.如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为_____．16.已知实数x，y满足方程组，则x2+y2=_________．17.已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是，那么另一组数据2x1–1，2x2–1，2x3–1，…，2xn–1的平均数是，方差是．18.将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则的值是__________.19.仔细阅读以下内容解决问题：偏微分方程，对于多个变量的求最值问题相当有用，以2001年全国联赛第二试第一题为例给同学们作一介绍，问题建立数学模型后实际上是求：y=5a2+6ab+3b2﹣30a﹣20b+46的最小值，先介绍求导公式，（xn）′=nxn﹣1，a′=0（a为常数），当ya′=10a+6b﹣30=0，yb′=6a+6b﹣20=0时，可取得最小值（ya′的意思是关于a求导，把b看作常数，（5a2）′=10a，（6ab）′=6b，（3a2﹣20b+46）′=0）．解方程，得a=，b=，代入可得y=，即是最小值．同学们：以上内容很有挑战性，确保读懂后请解答下面问题：运用阅读材料中的知识求s=4x2+2y2+4xy﹣12x﹣8y+17的最小值_________．20.已知关于的不等式组无解，则的取值范围是____。三.解答题：（每小题10分，共70分）21..整数a使得关于x，y的方程组对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．22.六个面分别标有1，1，x2+1，x，x+1，2x-1的小正方体的表面展开图如图所示，（1）是否存在x，使得正方体相对的两面上数字相等，若存在，求出这样的x；若不存在，请说明理由；（2）若六个面上的6个数之和为15，且x为正数，求出满足条件的x；（3）掷这个正方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某点的横坐标，朝下一面的数位该点的纵坐标，按照这样的规定，每抛一次该小正方体，就得到平面内一个点的坐标，求在（2）的条件下抛一次正方体所得的点恰在直线y=2x-1上的概率．23.如图1，A，B，C三个容积相同的容器之间有阀门连接，从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A，B，C三个容器内的水量分别为ya，yb，yc（单位：升），时间为t（单位：分）．开始时，B容器内有水50升，yayc与t的函数图象如图2所示，请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：（1）求t=3时，yb的值．（2）求yb与t的函数关系式，并在图2中画出其函数图象．（3）求ya：yb：yc=2：3：4时t的值．24.首先，我们看两个问题的解答：问题1：已知x＞0，求的最小值．问题2：已知t＞2，求的最小值．问题1解答：对于x＞0，我们有：≥．当，即时，上述不等式取等号，所以的最小值．问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2，于是．由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．（1）用b表示k；（2）求△AOB面积的最小值．25.如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是多少？26.如图，已知点(-2,0)(-4,0)，过点的⊙与直线相切于点（在第二象限）,点关于轴的对称点是A1，直线AA1与轴相交点（1）求证：点A1在直线MB上（2）求以为顶点且过的抛物线的解析式；（3）设过点A1且平行于轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为，当⊙与⊙相切时，求⊙的半径和切点坐标27．在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；①求S与t的函数关系式；②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．