分类计数原理和分步计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(应在学完古典概型1后才学）分类加法计数原理与分步乘法计数原理甲1.分类加法计数原理问题1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？乙火车2火车1火车3汽车1汽车23+2=5(种）分类加法计数原理:完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋＋mn种不同的方法火车2火车1火车32.分步乘法计数原理问题2从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲乙丙汽车2汽车1种）(623分步乘法计数原理注意分类计数原理与分步计数原理的区别在于:分类计数原理是“完成”某件事可分几类；而分步计数原理则是“分几步完成”“一件事”。完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法。例题1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?注意区别“分类”与“分步”解:(1)从第1层任取一本,有4种取法;从第2层任取一本,有3种取法;从第3层任取一本,有2种取法,共有4+3+2=9种取法。答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。(2)从书架的1、2、3层各取一本书,需要分三步完成,第1步,从第1层取1本书,有4种取法;第2步,从第2层取1本书,有3种取法;第3步,从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,共有4×3×2=24种取法。答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取法。分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步例3同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，它总共出现的情况如下表所示：（6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。（4，1）（3，2）（2，3）（1，4）6543216543211号骰子2号骰子A41A369P所包含的基本事件的个数（）＝＝＝基本事件的总数（3）由于基本事件的总数为36，记事件A为“向上点数之和为5”，则事件A包含的基本事件的个数为4，由古典概型的概率公式，得（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有（1，4）,（2，3）,（3，2）,（4，1）4种。答：向上的点数之和是5的概率是。19例3同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？解：（1）一共有6×6=36种不同的结果.A41A369P所包含的基本事件的个数（）＝＝＝基本事件的总数（3）记事件A为“向上点数之和为5”，由于基本事件的总数为36，且事件A包含的基本事件的个数为4，由古典概型的概率公式，得（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有（1，4）,（2，3）,（3，2）,（4，1）4种。答：向上的点数之和是5的概率是。191、储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取．假设一人完全忘记了自己的储蓄卡上密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？解：这是一个古典概型。基本事件的总数是10×10×10×10=10000种，记事件A={能取到钱}，则A包含的基本事件个数为1。∴P(A)=110000答：他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是。1100002、储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取．某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？解：这是一个古典概型。∴P(A)=110答：他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是1.10他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱记事件A=基本事件的总数是1×1×1×10=10种，则A包含的基本事件个数为1例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?本题的特点是数字可以重复使用，例如0000，1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数m=10，有n=4个步骤,结果是总个数N=10×10×10×10=104解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的号码个数是答：可以组成10000个四位数字号码。N=104。3、5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中取出2本，一共有种不同的取法；取出的书恰好都是数学书，一共有中不同的取法；取出的书至少有一本是数学书，共有种不同的取法2、在5个红球与3个白球的袋子中任摸3球，一共有种不同的摸法。1、连续抛掷两枚骰子，一共有种不同的结果。练习6×6=368×7×6=3369×8=724×3=124×5+5×4+4×3=52注意：;36289436;245544326;26、四名研究生各从A、B、C三位教授中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_____种选法。5、在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?答.：(10×9+10×9)/2=90（种）.434、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?答：3×3×3×3=34=81（种）34例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：先选1名上日班，共有3种选法；再选1名上晚班，有2种选法，根据分步计数原理,所求的不同的选法数是.623N答：有6种不同的选法。日班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法不同排法如下图所示甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙日班晚班例4:满足AB={1,2}的集合A,B共有多少种?解法一：A,B均是{1,2}的子集:Ø,{1},{2},{1,2},但不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含AB的两元不定方程,其全部解分为四类:1.当A=Ø时,只有B={1,2}得1组解;2.当A={1}时,B={2}或{1,2},得2组解;3.当A={2}时,B={1}或{1,2},得2组解;备选例题4.当A={1,2}时,B=Ø或{1}或{2}或{1,2},得4组解由加法原理,共有1+2+2+4=9组解解法2:设A,B为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中，分两步可办好此事:第1步装“1”,可装入A不装入B,也可装入B不装入A,还可既装入A又装入B,有3种装法;第2步装“2”,同样有3种装法.由乘法原理,共有3×3=9种装法一、分类加法计数原理:完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋＋mn种不同的方法。知识小结二、分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法。分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法,即分类解决或分步解决,要注意“类”间相互独立,“步”间相互联系。