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第二章习题参考解答2.1求下列系统的阶跃响应和冲激响应。(1)解当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：，，…，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：(2)解(a)求冲激响应，当时，。特征方程，解得特征根为。所以：…(2.1.2.1)通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)：…(2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以：(b)求阶跃响应通解为特解形式为，，代入原方程有，即完全解为通过原方程迭代之，，由此可得解得，。所以阶跃响应为：(3)解(4)解当t0时，原方程变为：。…(2.1.3.1)…(2.1.3.2)将(2.1.3.1)、(2.1.3.2)式代入原方程，比较两边的系数得：阶跃响应：2.2求下列离散序列的卷积和。(1)解用表格法求解(2)解用表格法求解(3)和如题图2.2.3所示解用表格法求解(4)解(5)解(6)解参见右图。当时：当时：当时：当时：当时：(7)，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：(8)，解参见右图当时：当时：当时：当时：(9)，解(10)，解或写作：2.3求下列连续信号的卷积。(1)，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：当时：(2)和如图2.3.2所示解当时：当时：当时：当时：当时：(3)，解(4)，解(5)，解参见右图。当时：当时：当时：当时：(6)，解(7)，解(8)，解(9)，解2.4试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。解2.5已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。(1)；解，，(2)；，解，，，，可定出(3)；，解，，，可定出2.6某一阶电路如题图2.6所示，电路达到稳定状态后，开关S于时闭合，试求输出响应。解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。根据电路可以立出ｔ＞０时的微分方程：，整理得齐次解：非齐次特解：设代入原方程可定出Ｂ＝２，则：2.7积分电路如题图2.7所示，已知激励信号为，试求零状态响应。解根据电路可建立微分方程：当时：由可定出，根据系统的时不变性知，当时：当时：2.8求下列离散系统的零输入响应。(1)；，解由，，可定出，(2)；，解由，，可定出.(3)；，，解特征方程，，由可定出2.9求下列离散系统的完全响应。(1)；解齐次方程通解：非齐次方程特解：代入原方程得：由可定出(2)；，解齐次方程通解：非齐次方程特解：代入原方程定出由可定出2.10试判断下列系统的稳定性和因果性。(1)解因果的；稳定的。(2)解因为冲激响应不满足绝对可和条件，所以是不稳定的；非因果的。(3)解稳定的，非因果的。(4)解不稳定的，因果的。(5)解不稳定的，因果的。(6)(为实数)解时：不稳定的，因果的；时：稳定的，因果的；时：不稳定的，因果的。(7)解不稳定的，非因果的。(8)解稳定的，非因果的。2.11用方框图表示下列系统。(1)(2)(3)*2.12根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应。(1)解当时：,由原方程知当时：，由此可定出(2)解当时：齐次方程的通解为，由原方程迭代求解可得为：由此可以定出*2.13根据系统的微分方程求系统的单位冲激响应。(1)解当时：，，代入原方程可确定(2)解当时：代入原方程，比较两边系数得：*2.14试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。(1)；，，解(a)求强迫响应：假设特解为：代入原方程，可定出；则强迫响应(a)求自由响应：利用冲激平衡法可知：可定出；所以完全解形式：，由定出即完全响应为：所以自由响应为：(b)求强迫响应：假设特解为：代入原方程，可定出；则强迫响应(c)求零输入响应：由可定出(d)求零状态响应零状态响应＝自由响应＋强迫响应－零输入响应＝综上所求，有：(2)；，，解法一用z变换求解。方程两边进行z变换，则有：解法二：时域解法。求强迫响应：当时：即为常值序列，设特解为，代入原方程可定出当时：仅在激励作用下，由原方程知，即：特解在时均满足方程。求自由响应：完全解：由经迭代得：由可定出完全解中系数为：则自由响应分量为：零输入响应：由可以定出：零状态响应：*2.15试证明线性时不变系统具有如下性质：(1)若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为；(2)若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为。证(1)已知，根据系统的线性试不变性有：；令，则有：证(2)已知，根据系统的线性试不变性有：令则，所以证毕。*2.16考察题图2.16(a)所示系统，其中开平方运算取正根。(1)求出和之间的关系；(2)该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？(3)若输入信号是题图2.16(b)所示的矩形脉冲(时间单位：秒)，求响应。解(1)由系统框图可得(2)由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。又因为当输入为时，输出为），故系统是时不变的。(3)由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。*2.17一个线性系统对的响应为，(1)该系统是否为时不变系统？(2)该系统是否是因果系统？(3)若a)；b)，求该系统对每个输入的响应。解(1)当时，输入为输出为当时，输入为输出为显然，是时变系统。(2)当时，如显然，响应出现于激励之前，所以是非因果系统。(3)因为不是LTI系统，所以输出响应不能用来计算。对于线性时变系统，输出响应可求解如下：任意信号仍可分解为冲激函数的和，即有：因为（这里是的二元函数）由于系统为线性的，故有：对于此例有，当时：（注意：）即当时：第三章习题参考解答3.1求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。解(a)解(b)解(c)解(d)3.2求题图3.2所示信号的傅里叶变换。解(a)解(b)设，由傅氏变换的微积分性质知：解(c)利用傅氏变换性质知：解(d)或解(e)解(f)3.3若已知，试求下列信号的傅里叶变换。(1)解(2)解(3)解(4)解(5)解(6)解令则有：,，3.4在题图3.2(b)中取，将进行周期为的周期延拓，得到周期信号，如题图3.4(a)所示；取的个周期构成截取函数，如题图3.4(b)所示。(1)求周期信号傅里叶级数系数；(2)求周期信号的傅里叶变换；(3)求截取信号的傅里叶变换。解(1)设单个三角波脉冲为，其傅里叶变换根据傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系知：(2)由周期信号的傅里叶变换知：(3)因为3.5绘出下列信号波形草图，并利用傅里叶变换的对偶性，求其傅里叶变换。(1)(2)[提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换]解(1)，根据对偶知：解(2)3.6已知的波形如题图3.6(a)所示，(1)画出其导数及的波形图；(2)利用时域微分性质，求的傅里叶变换；(3)求题图3.6(b)所示梯形脉冲调制信号的频谱函数。解(1)及的波形如下：(2)(3)3.7求下列频谱函数的傅里叶逆变换。(1)解(2)解(3)解(4)解(5)解………(3.7.5.1)又………(3.7.5.2)由(3.7.5.1)、(3.7.5.2)式可知：(6)解*3.8设输入信号为，系统的频率特性为，求系统的零状态响应。解3.9理想低通滤波器的幅频特性为矩形函数，相频特性为线性函数，如题图3.9所示。现假设输入信号为的矩形脉冲，试求系统输出信号。解利用傅里叶变换的对称性，可以求得该系统的冲激响应为：，，令得：其中：3.10在题图3.10(a)所示系统中，采样信号如图(b)所示，是一个正负交替出现的冲激串，输入信号的频谱如图(c)所示。(1)对于，画出和的频谱；(2)对于，确定能够从中恢复的系统。解(1)由此可以绘出及的频谱图如下：(2)从的频谱可以看出，由恢复的系统如图所示:3.11在题图3.11(a)所示系统中，已知输入信号的傅里叶变换如题图(b)所示，系统的频率特性和分别如图(c)和图(d)所示，试求输出的傅里叶变换。解：参见题图的标注。*3.12在题图3.12(a)所示的滤波器中，。如果滤波器的频率特性函数满足：(，为常数)则称该滤波器为信号的匹配滤波器。(1)若为图(b)所示的单个矩形脉冲，求其匹配滤波器的频率特性函数；(2)证明图(c)所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器；(3)求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应，并画出的波形；(4)求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应，并画出的波形。解(1)解(2)参见图(c)标注.又，即与（１）中有相同的函数形式。解(3)，解(4)(取ｋ＝１)[为一三角波]*3.13求题3.1中和的功率谱密度函数。解(1)参见3-1题。首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式：周期信号的傅里叶变换为：其中是傅里叶级数展开式系数。考虑截取信号：根据频域卷积定理，截取信号的傅里叶变换为：当时，趋向于集中在处，其他地方为零值，所以功率谱密度函数为：由于，，所以：由此可求题给信号的功率谱密度函数：解(2)*3.14求题3.2中和的能量谱密度函数。解设的能量谱密度函数为，。设的能量谱密度函数为，。*3.15信号的最高频率为500Hz，当信号的最低频率分别为0，300Hz，400Hz时，试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率，并解释如何从采样后信号中恢复。解(1)，所以(2)，，取当代入式中可知，只有当不等式才能成立：，所以采样频率只能取Hz。(3)，，当代入式中可知，当不等式成立：，所以最低采样频率。*3.16正弦信号的振幅电平为V，现采用12位的量化器进行舍入式量化，求量化误差的方均根值和量化信噪比。解，，；，；，；*3.17绘出，的波形，并证明它们在[0，1]区间上是相互正交的。解由三角函数和符号函数的意义可绘出的波形如图所示。显然：即在[0，1]区间上满足正交的定义。*3.18求信号的自相关函数。解当：当：第四章习题解答4.1求下列离散周期信号的傅里叶级数系数。(1)解，若取则：(2)解若取：则(3)解，若取则：(4)，周期解(5)解(6)解4.2已知周期信号的傅里叶级数系数及其周期，试确定信号。(1)，解，将此式与的定义式比较可知：若取则(2)，解4.3求下列序列的傅里叶变换。(1)解(2)解令有：(3)解(4)解(5)解(6)解4.4利用傅里叶变换的性质求下列序列的傅里叶变换。(1)解(2)解(3)解(4)解4.5已知的傅里叶变换为，求下列序列的傅里叶变换。(1)解；(2)解，(3)解(4)解4.6已知离散信号的傅里叶变换为，求其对应的时域信号。(1)解(2)解和的定义式比较知：(3)解(4)解(5)解4.7设两个离散LTI系统的频率响应分别为将这两个系统级联后，求描述整个系统的差分方程。解将这两系统级联后，求描述整个系统的差分方程级联后系统的频率响应为：的频率响应为：比较后得知级联后系统的差分方程为：4.8设一离散LTI系统的差分方程为，(1)求该系统的频率响应；(2)若系统的激励为，求系统的零状态响应。解(1)方程两边进傅里叶变换得：解(2)*4.9设和是周期信号，且，试证明离散时间调制特性，即证明其中。证明令类似可证：证毕。*4.10周期三角形序列如题图4.10(a)所示，其单个周期内的序列构成有限长序列、，如图(b)和图(c)所示。(1)求的傅里叶变换；(2)求的傅里叶变换(3)求的傅里叶级数系数；(4)证明傅里叶级数系数表示或的等间隔采样，即有：或[N为周期]解(1)解(2)解(3)周期，，解(4)由上面知：而比较知：*4.11一个离散时间系统的单位冲激响应为，利用傅里叶变换求该系统对下列输入信号的响应。解，，*4.12如果为系统的输入，为系统的输出，对下面每组信号判断是否存在一个离散时间LTI系统，当输入为时，输出为？如果不存在，说明为什么。如果存在，它是否是唯一的？求出该LTI系统的频率响应。(1)，解所以输人－输出为非线性关系，则不存在一个LTI系统能满足此输人－输出关系。(2)，解；所以该输人－输出关系可以对应一个频率响应为的LTI系统，且是唯一的。当然该输人－输出关系也可以对应一个的非线性系统。注意该题和(1)的区别，在题(2)中，所对应的LTI系统的输人－输出关系可以用差分方程：描述，而在题(1)中，则找不到满