多目标优化方法及实例解析

第九讲多目标规划方法多目标规划解的讨论——非劣解多目标规划及其求解技术简介效用最优化模型罚款模型约束模型目标规划模型目标达到法目标规划方法目标规划模型目标规划的图解法求解目标规划的单纯形方法多目标规划应用实例多目标规划是数学规划的一个分支。研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。3求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。多目标规划模型（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：一多目标规划及其非劣解)(max(min))(max(min))(max(min))(XfXfXfXFZk21mmgggGXXXX2121)()()()(s.t.式中：为决策变量向量。TnxxxX],,,[21)(max(min)XFZGXts)(..缩写形式：有n个决策变量，k个目标函数，m个约束方程，则：Z=F(X)是k维函数向量，(X)是m维函数向量；G是m维常数向量；（1）（2）对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：CXZmax(min)bAXs.t.式中：X为n维决策变量向量；C为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；B为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；b为m维的向量，即约束向量。多目标规划的非劣解多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？)(max(min)XFZGX)(s.t.在图1中，max(f1,f2).就方案①和②来说，①的f2目标值比②大，但其目标值f1比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,⑦比③好……。非劣解可以用图1说明。图1多目标规划的劣解与非劣解9而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。效用最优化模型罚款模型约束模型目标达到法目标规划模型二多目标规划求解技术简介为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。)(maxXZGXts)(..是与各目标函数相关的效用函数的和函数。方法一效用最优化模型（线性加权法）（1）（2）思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值i来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：kiii1max),,2,1(),,(21migxxxinikii11TmaxGXts)(..式中，i应满足：向量形式：方法二罚款模型（理想点法）思想:规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值fi与期望值fi*之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：i21)(minkiiiiffZ),,2,1(),,,(21migxxxini或写成矩阵形式：)()(minFFAFFZTGX)(式中，是与第i个目标函数相关的权重；A是由(i=1,2,…,k)组成的m×m对角矩阵。i理论依据：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：方法三约束模型（极大极小法）),,,(max(min)211nxxxfZ),,2,1(),,,(21migxxxini),,3,2(maxminkjfffjjj方法四目标达到法首先将多目标规划模型化为如下标准形式：)()()(min)(min21XfXfXfxFk000)()()()(21XXXXm在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标fi*(i=1,2,…,k),每一个目标对应的权重系数为i*(i=1,2,…,k)，再设为一松弛因子。那么，多目标规划问题就转化为：,minX),,2,1(,)(*kifXfiii),,2,1(0)(miXi)()()(min)(min21XfXfXfxFk000)()()()(21XXXXm17方法五目标规划模型（目标规划法）需要预先确定各个目标的期望值fi*，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级(L≤K)，目标规划模型的数学形式为：LlKkklkklklddpZ11)(min),,,(),,,(migxxxini2121),,,(Kifddfiiii2118LlKkklkklklddpZ11)(min),,2,1(),,,(21migxxxini),,2,1(Kifddfiiii式中：di+和di－分别表示与fi相应的、与fi*相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；pl表示第l个优先级；lk+、lk-表示在同一优先级pl中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。三目标规划方法通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法——单纯形方法。目标规划模型目标规划的图解法求解目标规划的单纯形方法目标规划模型给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。1.基本思想：2.目标规划的有关概念例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8万元和10万元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1单位台时和2单位台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的设备总台时为10单位台时。试问：如何确定其生产方案使得企业获利最大？由于决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求x1，x2，使21108maxxxz0,102112212121xxxxxx将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策方案为:（万元）。62,3,421Zxx甲乙拥有量原材料2111设备(台时)1210单件利润810生产甲、乙两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其它条件，如：②超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产成本增加。③应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。④应尽可能达到并超过计划产值指标56万元。这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。①根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。23假定有L个目标，K个优先级(K≤L)，n个变量。在同一优先级pk中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为kl+、kl-，则多目标规划问题可以表示为：KkLllkllklkddpZ11)(minnjllljljLlgddxc1)(),,2,1(njijijmibxa1),,2,1(),(),,2,1(0njxj),,2,1(0,Llddll目标规划模型的一般形式目标函数目标约束绝对约束非负约束24在以上各式中，•kl+、kl-、分别为赋予pl优先因子的第k个目标的正、负偏差变量的权系数，•gk为第k个目标的预期值，•xj为决策变量，•dk+、dk-、分别为第k个目标的正、负偏差变量，目标函数目标约束绝对约束非负约束KkLllkllklkddpZ11)(minnjllljljLlgddxc1)(),,2,1(njijijmibxa1),,2,1(),(),,2,1(0njxj),,2,1(0,Llddll目标规划数学模型中的有关概念。(1)偏差变量在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量d+、d-。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有d+×d-=0成立。(2)绝对约束和目标约束绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差，可加入正负偏差变量，是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。(3)优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子p1，次位的目标赋予优先因子p2，……，并规定plpl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的优先权。即:首先保证p1级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而p2级目标是在实现p1级目标的基础上考虑的；依此类推。若要区别具有相同优先因子pl的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的权系数i*(i=1,2,…,k)。这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定。(3)优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题,常常有若干个目标，决策