高中数学不等式精讲有题目有解析

不等式方法指导：1．加深对不等式性质的理解及应用2．增强运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法3．注意不等式在综合题中的应用4．加强论证推理的能力典型题解：一、不等式的性质对称性传递性加法单调性乘法单调性倒数法则乘方法则开方法则1．已知12ab，132202ba，求33ba的取值范围．解答：待定系数法，令3()2(2)322bbnamabnamnamb5329116329mnmnmn故1055()999ab，2081632029929ba，于是223353ba．二、不等式的解法一元二次不等式分式不等式含绝对值的不等式无理不等式某些高次不等式2．求解不等式axb解答：1°0a时，解为bxa2°0a时，解为bxa3°0a，0b时，不等式无解0a，0b时，不等式解集为R3．不等式220axbx的解集是(1,2)，则22ab__________．解答：由已知1,2是方程220axbx的两根，故2(12)3,12baa．于是1,3ab，2210ab4．解不等式24xx．解答：2x与x的两个零点为-2,0．分类讨论：1°当0x时，原不等式化简为：24xx，解得1x，所以这种情况[0,1)x；2°当20x时，原不等式化简为：24xx，该不等式恒成立，所以这种情况下(2,0)x；3°当2x时，原不等式化简为：24xx，解得3x，所以这种情况下(3,2]x．综上所述：原不等式的解集为(3,1)．5．解不等式254xxx．解答一：两边平方需要左右两边都大于零，当右边小于零时此不等式显然恒成立，于是需要分类讨论：1°22054xxxx∴14202x2°20540xxx∴50x综上：142[5,]2x．解答二：设21254,yxxyx．在同一直角坐标系中作出12,yy的图象，由方程254xxx得1422x（负舍）．∴1y与2y的交点的横坐标为1422x，如图可知不等式的解集为142[5,]2x．三、不等式应用研究函数的定义域研究方程的解研究集合问题研究最值问题研究函数的单调性研究恒成立，能成立，恰成立问题1）恒成立问题若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB2）能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB．3）恰成立问题若不等式Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式Bxf的解集为D．6．221log(43)2ayxxxx的定义域是：（）．A、13xx或B、21xx或C、23xx或D、23xx或解答：2243031231220xxxxxxxxxx或或或．答案：C7．已知,xyR，22222xxyy，则xy的取值范围是_____________．解答：22()2xyy，令2cos,2sin,[0,2)xyy．则2(cos2sin)10sin()xy，其中1tan2．故[10,10]xy．答案：[10,10]8．已知,Rxy且191xy，则xy的最小值是_____________．解答：199()1()()1061016yxxyxyxyxyxy，当且仅当9yxxy即4,12xy时等号成立．∴xy的最小值是16．9．若1x，求4231xx的最小值．解答：1x时，10x，将1x都当作a与b应用基本不等式的推论1可得4442353(1)523(1)543111xxxxxx于是4231xx的最小值为543．10．设实数,xy满足238xy，249xy，则34xy的最大值是________．解答：2216()81xy，所以22324()227xxyxyy．所以，34xy的最大值为27．11．已知1m，设1,1AmmBmm，则,AB之间的大小关系是____________．解答：设()1(1)fxxxx，则1()1fxxx，1xx在(1,)上单调递增，且10xx，故11xx在(1,)上单调递减．∵11mm，故(1)()fmfm，即11AmmmmB．答案：AB12．设对所有实数x，不等式2222224(1)2(1)log2loglog014aaaxxaaa恒成立，求实数a的取值范围．解答：设21log2aua，则原不等式可化为2(3)220uxuxu，即22(22)3uxxx，∵2221xx，∴22322xuxx恒成立，而223022xxx，22322xxx的最小值为0，故只需0u即可．21log02aua，112aa，01a．四、不等式的证明方法：比较法（作差法，作商法）分析法综合法反证法数学归纳法技巧：放缩技巧（拆，凑，舍，平方）11112kkkkk（放大）21111(1)1kkkkk（放大）221111111(1)(1)211kkkkkk（放大）21111(1)1kkkkk（缩小）换元技巧（整体换元，均值换元，三角换元）构造技巧（构造函数，方程，图形）13．已知,abR，且1ab，求证：2225(2)(2)2ab．证明：∵,abR，且1ab，∴设11,()22atbttR．则22222112525(2)(2)(2)(2)22222abttt=+，即2225(2)(2)2ab，原不等式得证．14．若0,0,1xyxy，则1125()()4xyxy．证明：左边112xyxyxyyxxyxy．令txy，则210()24xyt．1()fttt在10,4上单调递减，∴117()()44ftf，故111725()()244xyxy．