高中数学专题突破(二)高考三角函数与平面向量问题的求解策略

菜单新课标·文科数学（安徽专用）三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质、解三角形的基础．近几年高考加大了对三角恒等变换的考查力度，同时多角度考查了三角函数的图象与性质．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2013·威海模拟)已知函数f(x)＝sinωx·cosωx＋3cos2ωx－32(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0，在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)先将f(x)的解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再根据周期求ω.(2)根据图象变换求g(x)，画出图象求k的取值范围．【规范解答】(1)f(x)＝12sin2ωx＋3×1＋cos2ωx2－32＝12sin2ωx＋32cos2ωx＝sin(2ωx＋π3)，由题意知，最小正周期T＝2×π4＝π2，T＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f(x)＝sin(4x＋π3)．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y＝sin(4x－π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin(2x－π6)的图象，所以g(x)＝sin(2x－π6)．令2x－π6＝t，∵0≤x≤π2，∴－π6≤t≤5π6.g(x)＋k＝0，在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g(t)＝sint与y＝－k在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．菜单新课标·文科数学（安徽专用）如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k＜12或－k＝1.∴－12＜k≤12或k＝－1.菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.解答本题时，利用三角恒等变换得到f(x)＝sin(2ωx＋π3)是解题的关键所在，应确保化简的准确性．2．研究方程解的个数问题，一般是利用图象法，而画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，可令t＝ωx＋φ，求出t的范围后，只画y＝Asint的图象即可．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝3asinx＋bcos(x－π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0)．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(2x)的周期及单调增区间．【解】(1)∵函数f(x)＝3asinx＋bcos(x－π3)的图象经过点(π3，12)，(7π6，0)，∴3×32a＋b＝12，－32a－32b＝0.解得：a＝1，b＝－1.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)由(1)知：f(2x)＝3sin2x－cos(2x－π3)＝32sin2x－12cos2x＝sin(2x－π6)，函数f(2x)的周期T＝π.由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，解得2kπ－π3≤2x≤2kπ＋2π3，k∈Z.即函数的增区间[kπ－π6，kπ＋π3]，k∈Z.菜单新课标·文科数学（安徽专用）近几年高考中，对解三角形的考查力度有所加强，对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，求解时应把条件转化为边的关系或角的关系，同时结合三角恒等变换进行化简求值．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2012·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝2，cosA＝－24.(1)求sinC和b的值；(2)求cos(2A＋π3)的值．【思路点拨】(1)根据正弦定理求sinC，根据余弦定理求b.(2)先求cos2A，sin2A，再代入公式求cos(2A＋π3)．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【规范解答】(1)在△ABC中，由cosA＝－24，可得sinA＝144.又由asinA＝csinC及a＝2，c＝2，可得sinC＝74.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0.因为b0，故解得b＝1.所以sinC＝74，b＝1.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)由cosA＝－24，sinA＝144，得cos2A＝2cos2A－1＝－34，sin2A＝2sinAcosA＝－74.所以cos(2A＋π3)＝cos2Acosπ3－sin2Asinπ3＝－3＋218.菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.本题中第(2)小题主要考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角和的余弦公式．2．三角恒等变换有时贯穿解三角形的始终，有时相对独立，以解三角形的某一结论作为条件求解．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2013·韶关模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sinC2＝104.(1)求cosC的值；(2)若△ABC的面积为3154，且sin2A＋sin2B＝1316sin2C，求a，b及c的值．【解】(1)因为sinC2＝104，所以cosC＝1－2sin2C2＝－14.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)因为sin2A＋sin2B＝1316sin2C，由正弦定理得a2＋b2＝1316c2.①由余弦定理得a2＋b2＝c2＋2abcosC，将cosC＝－14代入，得ab＝38c2.②由S△ABC＝3154及sinC＝1－cos2C＝154，得ab＝6.③菜单新课标·文科数学（安徽专用）由①，②，③得a＝2，b＝3，c＝4，或a＝3，b＝2，c＝4.经检验，满足题意．所以a＝2，b＝3，c＝4，或a＝3，b＝2，c＝4.菜单新课标·文科数学（安徽专用）主要题型有：(一)三角函数与向量的交汇；(二)解三角形与向量的交汇；(三)三角函数与解三角形的交汇．此类题目中向量的坐标是三角函数值，解答时，首先利用向量进行转化，再利用三角函数的知识求解．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)把数量积转化为边角关系，再利用正弦定理边化角．(2)tan(A＋B)＝－tanC，求出tanC后，利用(1)的结论转化为关于tanA的方程求解．(2012·江苏高考)在△ABC中，已知AB→·AC→＝3BA→·BC→.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝55，求A的值．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【规范解答】(1)因为AB→·AC→＝3BA→·BC→，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，即AC·cosA＝3BC·cosB.由正弦定理知ACsinB＝BCsinA，从而sinBcosA＝3sinAcosB.又因为0A＋Bπ，所以cosA0，cosB0，所以tanB＝3tanA.(2)因为cosC＝55，0Cπ，所以sinC＝1－cos2C＝255，从而tanC＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2，菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.解答本题时，根据数量积的定义把数量积的等式转化为三角形的边角关系是关键所在．求解第(2)小题时，根据(1)的结论联想到tan(A＋B)是突破口．2．善于借助已获得的结论求解未知结论是常用的策略，此时要分清前面的结果是特殊情况还是普通结论，以防出错．亦即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－2.由(1)得4tanA1－3tan2A＝－2，解得tanA＝1或tanA＝－13.因为cosA0，所以tanA＝1，所以A＝π4.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2012·湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域．【解】(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ，菜单新课标·文科数学（安徽专用）由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以函数f(x)的最小正周期是6π5.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)由y＝f(x)的图象过点(π4，0)，得f(π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin(53x－π6)－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．