多目标决策分析0420

预测与决策分析ForecastingandDecisionAnalysis多目标决策分析在现实中，有许多决策问题需要考虑多个目标。要满足两个以上目标的决策，我们称之为多目标决策。确定新产品开发策略，必须考虑企业的投资能力、市场引力、潜在获利、营销能力、风险程度等。一个国家的经济既要求能够持续发展，又要求有一定的发展速度，同时还要求能各部门协调的健康发展。一个人选购外衣，要权衡式样、尺寸、颜色、质地、价格等。总之，无论是大的决策还是小的决策，都可能涉及多个目标的问题。2多目标决策特点目标之间的不可公度性。目标之间的不可公度性是指各个目标之间没有一致的衡量标准，难于进行相互比较。目标之间的矛盾性。多目标问题之间常常是相互矛盾的，要提高一个目标的值，常常要以牺牲另外一些目标的值为代价。决策人偏好的差异性。决策人的偏好不同、决策也不同。决策人对风险的态度，或者说，对某一个目标的偏好不同，都会影响决策的结果。3多目标决策两个基本要素决策单元。在多目标决策过程中，决策人，决策分析人员和计算机等结合起来构成决策单元，其主要作用是：收集并处理各种信息，制定决策规则，作出决定等。目标和属性集。人们所要达到的目的称为目标，为了具体化，便于计算和度量，常把总目标分解为中目标，小目标。为了衡量目标达到的程度，常采用一定的评价标准，称为目标的属性，对属性的要求是易于测量和理解。4多目标决策问题两个基本原则1．化多为少原则在实际问题中，决策目标数越多，选择标准就越多，比较和选择各种不同方案就越困难。因此，应将目标化多为少，即在满足决策的前提下，尽量减少目标的个数。我们通常的做法有如下几种：（1）剔除那些不必要和从属性的目标。通过分析认为不必要和从属性的目标应剔除。如果决策的各目标中，包括两个对立而无法协调的目标，经过决策者权衡之后，在必要时，就应牺牲其中的一个。（2）合并类似目标。多目标决策问题由于目标之间有明显的客观联系，故可以把类似的几个目标合并为一个目标来解决。（3）把次要目标列为约束条件。根据各个目标的重要性，分清主次关系，把本质的主要目标列为目标，而把其余的非主要、非本质的列为约束条件。（4）构成综合、目标。我们可以把几个目标，通过同度量、平均或构成函数的办法构成一个综合目标。用模式表示为：),,,(21npppfP，其中，P表示综合目标，nppp,,,21表示子目标。2．目标排序，所谓目标排序，就是决策者根据目标的重要程度排成一个次序，最重要的目标排在第一位，在选择方案时，必须先达到重要目标后才能再考虑下一个目标，然后再进行选择，做出决策。5多目标决策问题的分类多目标决策问题可分为有限个方案多目标决策问题和无限个方案多目标决策问题，后一类称为多目标规划问题。有限个方案多目标决策问题，又可以分为两类，一个是多个目标、多种方案之间的优化决策。还有一类是，虽然只有一个目标，但评价这一个目标有多种标准的，多种方案之间的优化决策。后一种又称为多属性决策(multipleattributedecisionmaking)，又称为多准则决策(multi-criteriadecisionmaking)。多目标规划(multi-objectiveprogramming)指无限个方案多目标决策。在多目标决策中(第一类)，有限个方案一般事先是知道的，然后根据多个准则去选择最优的方案。而在多目标规划中，在给定的约束范围内方案数目是无限的，因而事先不能一个一个列举出来，各方案的属性值也是一个连续变化量。因此决策过程就是一个逐步寻优、确定最优方案的过程。6多目标决策问题的价值函数定义（价值函数）一实值函数V称为X上的价值函数，如果当xy当且仅当V（x）V（y）。我们研究多属性价值函数的存在性，设优先序是方案集X上的一个弱序，即满足（1）对x，y，zX，若xy，yz，有xz；（2）对x，yX，有xy或者yx。方案集X可以划分为可数个无差异类。我们说方案集X中的方案x和y在同一无差异类，当且仅当xy和yx。定理（价值函数的存在性）如是X上的一弱序，且X的无差异类集是可数的，则存在一X上的价值函数。7非劣解的概念定义（非劣解）对于一个多目标决策问题的解来说，如果不存在另外一个可行解，在任何一个目标上均不劣于该解的相应目标值，且至少在某个目标上优于该解，则称该解为该多目标决策问题的非劣解。下面我们给出一种求解非劣解的办法――加权法：求解加权和问题：maxni1wifi(x1，x2，…，xn)s.txX步骤一：分别优化每一个目标，即令权(w1，w2,，…，wn)分别为(1，0，…，0)，（0，1，0，…，0），…，(0，0，…，1)，求解加权和问题，得原问题非劣解集的“极端点”；步骤二：逐步改变权，使用一事先规定的步长，每个权从0改变到它的上限，对每组权分别求解加权和问题，产生原问题得非劣解；步骤三：从所求得的解中排除劣解。8有限个方案多目标决策多属性决策问题，也称为有限个方案的多目标决策问题，如：某人拟从n处房屋中选购一所作为自己的住处，某企业欲从n个地点中选择一处建立新厂。在选择住房时要考虑到多个因素，如价格，使用面积，距工作地点的距离，设备，环境等，因此这是一个多目标决策问题。这类问题的特点是对各备选方案进行评价，排定各方案的优先次序。9多属性决策问题决策矩阵用X＝{x1,x2,…，xm}记可供选择的行动方案的集合，用Yi={yi1,yi2,…yin}记第i个行动方案的各属性值，其中yij表示第i个方案的第j个属性的值。若用目标函数来表示属性，则属性yij为yij=fj(xi)，i=1，2,…，m；j=1，2，…，n各方案的属性值可用矩阵表示，这个矩阵称为决策矩阵，它提供了分析决策问题的基本信息。决策矩阵属性行动方案y1y2…ynx1y11y12…y1nx2y21y22…y2nxmym1ym2…ymn10决策矩阵规范化在这个决策矩阵中，如果采用原来的属性值，往往不便于进行分析，这是由于各属性所采用的量纲不同，且在数值上可能有很大的差异，因而常常需要把各属性的值进行规范化，即把各属性的值统一变化到【0，1】范围内。往往采用下列变换方式进行规范化：11决策矩阵规范化1.向量规范化令Zij＝yijmiijy12这种变换把所有属性值均化为无量纲的量，且均处于【0，1】范围内，但这种变换是非线性的，有时不便于属性间的比较。2.线性变换如果目标是效益值（属性值越大越好），可令Zij＝iijijyymax由于ijiymax是决策矩阵第j列的最大元素，我们就有0Zij1如果目标是成本值（属性越小越好），可令Zij＝1－iijijyymax也有0Zij112决策矩阵规范化3.其他变换对于效益，令Zij＝iijijiiijijyyyy)(min)(maxmin对于成本，令Zij＝iijijiijiijyyyy)(min)(maxmax这种变换能把属性的最大值或最小值统一为0和1，但是这种变换不成比例。13筛选方案的几种方法如果在决策问题一开始所拥有的行动方案太多，那么就应该采取一定的方法进行筛选，以减少进一步分析中所拥有的方案的数量。1.优选法这是根据非劣解概念进行筛选的方法。如果方案A和B相比较，方案A的某个属性值优越于方案B，且方案A在其他属性值上均不劣于方案B，则我们应当认为方案A是优于方案B的，方案B被筛选掉，留下了方案A；如果方案A与另一个方案C比较，方案A劣于方案C，则筛选的结果是留下方案C。采用这一方法使得我们可以留下那些非劣方案。2.满意法对每个属性规定一个最低可以接受的值，即规定yijyj0,j=1,2,…，n。要求方案的每个属性的值都必须超过这个最低值，只要有一个属性的值达不到要求，该方案就被剔除。采用该方法进行筛选，如果标准值规定的太低，会使留下的方案数目太多，达不到筛选的目的；而如果标准值规定的太高，又会使留下的方案数目太少；一个比较可行的方式，是采用迭代的方法逐步提高标准值。3.分离法如果我们对方案的每个属性值规定一个最低标准值，但是并不要求所有的属性值均达到这个标准，而只是要求有一个属性值达到要求就可以了。如果用来选拔人才，则有一技之长的人被保留下来。如果在决策问题一开始所拥有的行动方案太多，那么就应该采取一定的方法进行筛选，以减少进一步分析中所拥有的方案的数量。14多属性决策的简单加性加权法在某些情况下可以采用简单加性加权法对方案进行排队，该方法是较为常用的多目标决策方法之一。在知道了各目标的权之后，对每个方案求各属性值的加权和。例如对第i个方案，我们有：ui=wizi1+w2zi2+…+wmzim,i=1，…，n。这里wk,k=1,…,m是第k个属性的权，而zij,j=1,2,…，m是第i个方案的第j个属性值。我们求得u1,u2,…,us，再做比较，选择ui最大的那个方案作为最优方案。权是目标重要性的数量化表示，决策者可以按目标的重要程度给各个目标赋予不同的权重值，但在目标较多的情况下，这种直接赋值难于进行，一般来说是把各目标进行两两对比，但这种对比可能不够准确或者前后不一致。例如决策者认为第一目标重要性是第二目标的2倍，又认为第二目标重要性是第三目标的3倍，但他并不认为第一目标的重要性是第三目标的6倍。因此，需要采用一定的方法把目标之间两两重要性对比的结果综合起来确定一组权系数，常有下列两种方法：15最小二乘法首先，决策者把m个目标f1,f2,…，fm的重要性进行两两对比，根据组合原理共需比较m(m-1)/2次，把fi对fj的相对重要性记为aij，这里aijwi/wj,wi,wj分别表示目标fi和fj的权重，则两两对比的结果的判断矩阵可表示为f1f2…fmf1a11a12…a1mf2a21a22…a2m…fmam1am2…amm16最小二乘法A=mmmmmmaaaaaaaaa212222111211mmmmmm其中（1）aij0(i,j=1,2,…,m)；（2）aij=1/aji(i,j=1,2,…,m)；（3）aii=1(i=1,2,…,m)；aij通常取1，2，…，9及其倒数。1―9的标度含义为：1表示fi与fj同样重要；3表示fi比fj稍微重要；5表示fi比fj明显重要；7表示fi比fj重要得多；9表示fi比fj极端重要。而当处于相邻的判断之间时，依次取值2，4，6，8；（4）miija1=(miiw1)/wj，当mi1wi=1时，mi1aij=1/wj。17最小二乘法一般来说，决策者对aij的估计不够准确或者前后不一致，则各等号应为近似号，权系数的取值应使得总体上的误差最小，即求使得：minz=mi1mj1(aijwj–wi)2mi1wi=1wi≥0(i=1，2，…，m)取最小值的w。18特征向量法如果决策者在对目标的重要性进行两两对比，没有不准确及前后不一致的情况时，Aw=mmmmmmm21=mm21此时权系数向量是判断矩阵A的最大特征根m的特征向量，因此可先求出A的最大特征根max，再求Aw=maxw的解w，即为权系数向量。19特征向量法用这种方法求权系数时，需要进行一致性检验，其方法是：（1）计算一致性指标C.IC.I=(max-m)/(m-1)(m为矩阵A的阶数)（2）计算一致性比例C.RC.R=C.I/R.I其中,R.I表示平均随机一致性指标，其值如表所示。m123456789R.I000.580.901.121.241.321.411.45当C.R0.10时，可以为两两对比的判断矩阵A的估计基本一致，可以接受，可求得w作为权系数向量。当C.R