多目标决策技术

第八章多目标决策技术预测与决策技术主讲教师李时前面几章，我们讨论的是单目标决策问题。然而现实世界中的决策问题，决策者考虑的目标往往不只一个。如企业的投资项目决策，既要考虑生产生命周期、市场需求、创汇能力、净收益、产品成本等经济指标，又要考虑保护生态环境、促进就业等社会指标。象这种在决策时要考虑多项目标的决策问题就是多目标决策问题。多目标决策问题有两个明显的基本特点：1．目标之间的不可公度性。即各个目标之间没有一个统一的度量标准，因而难以直接进行比较。例如投资项目决策问题中，项目净收益用万元计，而投资回收期却以年（或月）计。2．目标之间的矛盾性。即某一目标的改善往往会使其他目标变坏。例如项目投资增加，会使利润增加，但可能会使投资回收期变长，以及环境污染加重。由于上述特点就使得多目标决策比单目标决策要困难和复杂得多。要寻找使各个目标都达到最优的所谓绝对最优方案（或称绝对最优解），往往是不现实的。通常的作用法就是在各个目标之间，在各种限制条件下寻找一种合理的妥协。即在非绝对最优方案，通常称为非劣方案（非劣解）或称有效方案（有效解）中选择一个比较满意的方案。按照不同的评价准则，从不同的角度去选择非劣方案便构成了不同的多目标决策方法。多目标决策方法很多，我们只介绍其中比较成熟的两种方法。§1层次分析法层次分析法简称AHP法（AnalyticHierarchyProcess），它是美国著名运筹学家萨蒂（Saatty）教授在20世纪70年代提出的一种定性与定量相结合的多目标决策方法，现已被广泛应用。一、层次分析法的基本原理在多目标决策问题中，针对某些目标，方案的评价结果往往难以定量化、精确化。这就需要把目标进一步分解，利用可精确化、定量化的子目标系统来反映对方案的评价。层次分析法的基本思想是：把决策问题按总目标、子目标、评价准则直至具体方案的顺序分解为若干层次，相邻层次元素之间存在着特定的逻辑关系。分成有序的层次结构以后，对每一个上层元素，把与之有逻辑关系的下层元素两两对比，给出以定量数字表示的“判断矩阵”。通过判断矩阵的最大特征根及其特征向量，求出每一层次的各元素对上一层次各元素的权重系数。最后利用加权和的方法，由低到高，一层层递阶归并，求出各方案对总目标的权数，其中权数最大者对应的方案即为优先方案。二、层次分析法的基本步骤第一步：建立层次结构模型。最高层：表示决策问题所要达到的总目标，常称为目标层或总目标层。中间层：可以包括不止一个层次。是为实现总目标而细分的子目标，也可以是为实现总目标或子目标而需要考虑的约束或准则。相应的层次常称为子目标层、准则层等。最低层：一般是解决问题的方案、政策或措施等。因此，常称为方案层或措施层。第二步：构造判断矩阵。判断矩阵是定性判断过度到定量计算的基础。它是针对上一层次某元素而言，本层次有关元素两两重要性的比较结果。为了说明判断矩阵的构造原理，我们先从物体的重量对比谈起。设有n件物体A1，A2，…，An，其重量分别为ω1，ω2，…，ωn，若将它们两两比较重量，其比值可构成n×n矩阵A：nnnnnn212221212111A矩阵A具有如下性质：若用重量向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T右乘A，可得AW=nW这说明n为矩阵A的特征根，向量W是对应于特征根n的特征向量。如果记aij=ωi/ωj，显然矩阵A的元素aij具有如下三条性质：⑴aii=1；⑵aij=1/aji；⑶aij=aik·akj，i，j=1，2，…，n．由矩阵理论易知，满足上述三条性质的矩阵A的最大特征根λmax=n,其余特征根为0。我们在层次分析法中所用的比较元素之间重要性的判断矩阵，就是用类似于上述比较物体间重量的方法构造的。设B层元素Bk与下一层元素A1，A2，…，An有关系，对于Bk而言，Ai与Aj比较后，其相对重要性记为aij，则有判断矩阵：A=(aij)n×n,也可表示为如下表格形式：一般来讲，元素的重要性很难象物体重量那样准确衡量，因此，aij很难精确给出，一般按下表所给出的标准来确定。BkA1A2…AnA1A2┆Ana11a12…a1na21a22…a2n┆┆┆an1an2…annaij取值含义1Ai与Aj同样重要3Ai比Aj稍微重要5Ai比Aj明显重要7Ai比Aj重要得多9Ai比Aj极端重要2，4，6，8介于上述相邻两种情况之间以上各数的倒数两元素反过来比较如：12/15/1213/1531A第三步：求判断矩阵的最大特征根和相应的特征向量。如果判断矩阵满足前述三条性质，则称该判断矩阵具有完全一致性。此时，便可知其最大特征根λmax=n所对应的特征向量为各元素重要性的权数。但是由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性以及主观上的片面性和不稳定性，用两两对比的方法构造出的判断矩阵，既使有前表为参照标准也常常不满足第三条性质：aij=aik·akj，因而不是完全一致性判断矩阵。若离完全一致性不远，则判断矩阵基本可用，这时最大特征根λmax≠n，就要设法求出判断矩阵的最大特征根及其相应的特征向量。当矩阵A的阶数较大时，用一般的代数方法计算相当麻烦。下面我们介绍一种简单的近似算法——方根法，其步骤为：⑴计算判断矩阵A中每行所有元素的几何平均值：niamnnjiji,,2,1,1⑵对向量M=(m1,m2,…，mn)T作归一化处理，即令nimmniiii,,2,1,1所得向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T即为判断矩阵A的最大特征根对应的（归一化）特征向量的近似值。⑶计算判断矩阵A的最大特征根：)6.5.12()(1maxniiinAW其中(AW)i为向量AW的第i个元素。事实上，由AW=λmaxW，有(AW)i=λmaxωi，i=1，2，…，n.（12.5.6）式实际是这n个等式求得的λmax的平均值。如果记W-1=(1/ω1,1/ω2,…，1/ωn)T，（12.5.6）式也可表为矩阵乘积形式：)7.5.12(11maxWAWTn第四步：判断矩阵的一致性检验。前面已述及，当判断矩阵具有完全一致性时，其最大特征根λmax=n，但人们对复杂事物两两重要性的比较，很难做到判断的一致性，因此，所给出的判断矩阵往往不具有完全的一致性，此时,λmax≠n,这就有必要检验判断矩阵与完全一致性相差多远。所用的检验指标是：1CImaxnnCI称为一致性指标。当λmax=n时。CI=0，为完全一致；CI值越大，判断矩阵的完全一致性越差。由于一致偏离可由随机因素引起，所以在检验判断矩阵的一致性时，要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较，得出检验数CR，即CR＝CI/RI只要CR0.1，就可以认为判断矩阵具有满意的一致性，否则，需要重新分析赋值，调整判断矩阵，直到检验通过为止。平均随机一致性指标同判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，出现一致性随机偏离的可能性也愈大，下表给出了阶数为3～10时的RI值。RI值是计算500个3至9阶随机样本矩阵的一致性指标，然后求其平均得出的。随机一致性指标RI值表阶数345678910RI0.580.901.121.241.321.411.451.49因为二阶矩阵的完全一致性可以保证，所以，只有三阶以上的判断矩阵才需检验。例求下面给出的判断矩阵A的最大特征根及特征向量，并做一致性检验。解：⑴计算A中各行所有元素的几何平均值：12/15/1213/1531A,466.253131m,874.0213312m464.01321513m⑵归一化：,648.0084.3466.23111iimm,230.0084.3874.02122.0084.3464.03⑶计算最大特征根:367.0690.0948.1122.0230.0648.012/15/1213/1531AW⑷一致性检验：0024.01330048.31CImaxnn0048.3)122.0367.0230.0690.0648.0948.1(31)(31maxiiinAWCR＝CI/CR=0.0024÷0.58＝0.004＜0.1故判断矩阵A具有满意的一致性。第五步：层次加权。如果某层的判断矩阵经检验具有满意的一致性，则按前述方法求得的特征向量即可做为该层各元素相应的权数。设第t层有m个元素，第t+1层有n个元素，那么对于第t层的第i个元素，可以求得第t+1层各元素对它的权重行向量:Wi=(ωi1,ωi2,…，ωin)，i=1，2，…，m，（注意：若第t+1层的第j个元素与第t层的第i个元素无联系时，ωij=0）于是可以用Wi为行，得到表示第t层和第t+1层各元素之间重要程度的权重矩阵，记为W（t）mnmmnnt212222111211m21)(设决策问题可分为ι+1层，总目标记为第0层，依次记为第1层，第2层，…，第ι层，第t层相对于上一层的权重矩阵为W（t），则由W总=W（1）W（2）.…W（ι），算得的行向量各元素，即最底层各方案对总目标的权数，其中权数最大的方案就是优先方案。三、层次分析法的应用例6某地兴建一大型工业项目，需考虑的主要目标有：投资回收期、年产值、可提供的就业机会、对当地工业的影响。经过可行性研究后有三个方案可供选择，其基本情况如下表所列，试用层次分析法确定优先方案。目标目标值方案投资回收期(年)年产值(万元)可提供的就业机会(人)对当地工业的影响方案一方案二方案三5811500090001500080020001400无影响略有促进作用起带动作用解：⑴建立层次结构模型：依题意可建立如下图所示的层次结构图:满意的项目A投资回收期B1年产值B2提供的就业机会B3对其它工业的影响B4方案一C1方案二C2方案三C3目标层：准则层：方案层：⑵构造第一层（准则层）的判断矩阵，求其最大特征根、特征向量，并进行一致性检验。对于目标层，把准则层的四项指标两两比较：B1不如B2重要，比B3略重要，比B4稍微重要；B2比B3稍微重要，比B4明显重要；B3比B4稍微重要。从而得该层判断矩阵如下表：AB1B2B3B4B1B2B3B411/22321351/21/3131/31/51/31计算各行几何均值：归一化：m1=1.316m2=2.340m3=0.841m4=0.386∑4.883ω1=0.2695ω2=0.4792ω3=0.1722ω4=0.0791∑1.0000故权数向量W=(0.270，0.479，0.172，0.079)T再求最大特征根：由AW=322.0704.0930.1091.1079.0172.0479.0270.013/15/13/1313/12/15312322/11得060.4)079.0322.0172.0704.0479.0930.1270.0091.1(41)(41maxiiinAW一致性检验：,020.0144060.41CImaxnn1.0022.090.0020.0＜RICICR所以第一层的判断矩阵具有满意的一致性。从而第一层四个元素对总目标的权数可记为行向量W（1）=(0.270，0.479，0.172，0.079)⑶构造第二层（方案层）对第一层各元素的判断矩阵，用同样方法和步骤求最大特征根、特征向量并进行一致性检验。结果如下：w1=(0.655，0.250，0.095)λmax=3.075CI=0.0375CR=0.0650.1，满意。B1C1C2C3C1C2C31291/2121/91/21B2C1C2C3C1C2C311/31/9311/3931w2=(0.077，0.231，0.692)λm