2020年全国III卷理科数学高考真题

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=*,,,xyxyNyx，B=,8xyxy，则AB中元素个数为A.2B.3C.4D.62.复数113i的虚部是A.310B.110C.110D.3103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.14230.1,0.4ppppB．14230.4,0.1ppppC．14230.2,0.3ppppD．14230.3,0.2pppp4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数tI（t的单位：天）的Logistic模型：0.23531tKIte，其中K为的最大确诊病例数.当0.95ItK时，标志着已初步遏制疫情，则t约为（ln193）A.60B.63C.66D.695.设O为坐标原点，直线2x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为A.(14,0)B.(12,0)C.(1,0)D.(2,0)6.已知向量a,b满足5a，6b，·6ab，则cos(,)aabA.3135B.1935C.1735D.19357.在△ABC中，2cos=3C，4AC，3BC,则cosBA.19B.13C.12D.238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.6+42B.442C.623D.4239.已知2tantan()74，则tanA.-2B.-1C.1D.210.若直线l与曲线yx和圆2215xy都相切，则l的方程为A.21yxB.122yxC.112yxD.1122yx11.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F,2F，离心率为5.P是C上一点，且12FPFP.若△12PFF的面积为4，则a=A．1B．2C．4D．812.已知5458，45138，设5alog3，8b=log5，13clog8，则A.abcB.bacC.bcaD.cab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x,y满足约束条件x02x01yyx，则z=3x+2y的最大值为_____.14.262x)x（的展开式中常数项是______（用数字作答）.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为____.16.关于函数1()sinsinfxxx有如下四个命题：①()fx的图像关于y轴对称.②()fx的图像关于原点对称.③()fx的图像关于直线2x对称.④()fx的最小值为2.其中所有真命题的序号是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）设数列na满足13a，134nnaan.(1)计算2a，3a，猜想na的通项公式并加以证明；(2)求数列2nna的前n项和nS.18.（12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0,200]（200,400]（400,600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：，，19.（12分）如图，在长方体ABCD-1111ABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEED，12BFFB.（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB，1AD，13AA，求二面角1AEFA的正弦值.20.（12分）已知椭圆C:222125xym(05)m的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||BPBQ,BPBQ⊥，求APQ△的面积.21.(12分)设函数3()fxxbxc,曲线()yfx在点11(,())22f处的切线与y轴重直,(1)求b；(2)若()fx有一个绝对值不大于1的零点，证明:()fx所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为=2--=2-²3²+xytttt（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点.（1）求｜AB｜;（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）设,,abcR，0abc，abc=1.（1）证明：0abbcca；（2）用max,,abc表示,,abc的最大值，证明：max,,abc34