多目标及离散变量优化方法（PPT45页)

第一部分现代机械设计概述第二部分机械优化设计第三部分创新设计——TRIZ第四部分绿色设计第五部分逆向设计课程内容第六章多目标优化方法和离散变量优化方法简介第一节多目标优化问题第二节多目标优化方法第三节离散变量优化问题与离散变量优化方法第六章重点内容1.什么是非劣解？2.多目标优化方法主要有哪四种方法？3.统一目标法中的线性加权法，如何将各目标函数值的变化范围均统一为从0到1的变化范围？4.统一目标法中的线性加权法，确定加权因子的方法有哪几种？5.统一目标法中的理想点法是如何构造统一的目标函数的？6.统一目标法中的功效系数法可以怎样确定功效系数？7.用宽容分层序列法求解的思路8.构造离散惩罚函数9.离散变量组合型法中如何产生初始复合形的顶点？约束条件和迭代终止是如何处理的?第六章结束机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题——多目标优化设计问题),...,2,1(0)(..mjxgtsj),...,2,1(0)(npkxhk多目标优化问题的类型：(1)整体多目标优化(2)分层(步)多目标优化多目标优化问题与单目标优化问题有根本性区别:①单目标问题可以得到最优解，而多目标问题往往得不到最优解，而只能得到非劣解（有效解）②多目标优化问题的任意两个设计方案，往往不易于比较其优劣。第一节多目标优化问题TlRxRxxfxfxfxFnn)]()(),([)(21minmin..第六章第一节多目标优化问题判别方案的优劣：单目标：只要用f(x)去比较即可)()()0()1(XfXfjj绝对最优解：多目标优化设计时，几个分目标同时达到最优的解。绝对最优解几乎不可能找到，因为各分目标函数有时会相互矛盾。非劣解(有效解)：指有m个目标函数，找不到一个x，使得其中一个目标函数值fi(x)比fi(x*)更好，而其余(m-1)个目标函数值不变坏，则称x*为非劣解（有效解）;多目标优化设计时，各分目标往往互相矛盾，甚至对立，这就需在各分目标函数之间协调，互相作些让步，以便取得较好的方案。多目标：（j=1,2,…l）第六章第一节多目标优化问题例120|)(,2)()](),([)(min22121xxDxxfxxxfxfxfxFT在最优解为：2)(,2,1)(,1)2(2)2()1(1)1(xfxxfx但两者无共同的最优解内两单目标函数]2,0[x第六章第一节多目标优化问题①]1,0[x内，1)(,1)(,1*2*1*xfxfx(若Dx*，对任意Dx都有),...,2,1)(()(*lixfxfii，则x*是多目标优化的绝对最优解)③若Dx*，且不存在Dx使)()(*xfxfii，则x*为非劣解。]2,1[x的所有点均为非劣解。是绝对最优解。]2,0[x内，a’，a点都是劣解（若，存在Dx，有)()(*xfxfii②则x*成为劣解。）Dxx*第六章第一节多目标优化问题例如b点。一、主要目标法基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标，而其它目标则只需满足一定的要求即可，即将目标转化为约束条件目标函数转化为：),,...1,1,...,2,1()(|)(maxmin)(min)(DxlkkifxffxDxfiiikkDxk二、统一目标法基本思想：将多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为多目标优化问题的评价函数。第二节多目标优化方法式中，fimin和fimax为第i个目标函数的上、下限。一般只有单边限制)(xfi第六章第二节多目标优化方法1．线性加权法基本思想：将各个分目标函数)(),...,(),(21xfxfxfl依其数量级和在整体设计中的重要程度相应地给出一组l构成一新的统一的目标函数F(x)liiinRxxfwxF1)()(minwi——加权因子(wi≥0，i=1,2,…，l)加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法）、功效系数法和极大极小法等。加权因子，,取fi(x)和wi(i=1,2,…，l)的线性组合，第六章第二节多目标优化方法为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x)转化为无量纲等量级目标函数)1)((),...,2,1()(xflixfii再组成统一目标函数。liiixfwxF1)()(wi——按各分目标的重要程度来决定如各分目标有相同的重要性，则取wi=1(i=1,2,…,l)—称为均匀计权，否则取各分目标不同的加权因子，取liiw11将fi(x)转换为无量纲的等量级目标函数)(xfi的方法第六章第二节多目标优化方法①将各分目标转化后加权加权因子wi确定的方法:设各分目标函数值的变动范围为：iiixf)(),...,2,1()()(lixfxfiiiii②),...,2,1(1*lifwii),...,2,1()(min*lixffiDxi即将各单目标函数的最优值的倒数作为权系数，它反映了各单目标函数离开各自最优值的程度。另外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消除了各分目标在数量级上的差别。第六章第二节多目标优化方法其中，w1i——本征权因子，反映各分目标的重要程度w2i——校正权因子，调整各分目标间量级差别的影响加权因子w2i愈小，反之，亦然。这样可调整不同的目标函数值同步下降。③直接加权法一个分目标函数fi(x)变化越快，2)(xfi的值越大，将加权因子分成两部分),...,2,1()(122lixfwii一般取：wi=w1i·w2i(i=1,2,…,l)第六章第二节多目标优化方法基本思想：先定出各分目标函数的最优值，根据多目标优化设计的总体要求对这些最优值进行调整，定出各分目标的最合理值),...,2,1()0(lifi（也可以是最优值*if），再构造新的统一的liiiiffxfxF1200)()(式中，除0if如引入加权系数wi，则目标函数为：2100)()(liiiiiffxfwxF2．理想点法（目标规化法）是为使目标函数无量纲化。目标函数：第六章第二节多目标优化方法V——DxFFmaxmin其中，TlrTrxfxfxFxfxfxfxF)(),...,()(,)(),...,(),()(121则统一目标函数为)()...()()...())(()(11minminminxfxfxfxfxfuxFlrrRxRxRxnnn即要求位于分子的各分目标函数应尽量小，而位于分母的各分目标函数应尽量大。一般要求各分目标函数fi(x)在D上均取正值。3．分目标乘除法多目标混合优化问题：第六章第二节多目标优化方法基本思想：对应每一目标函数都用功效系数),...1,2,()(lifFCiii来表示该项指标的好坏该目标值最不满意该目标达到最满意0110iiiCCC总功效系数（评价函数）llcccC....21C值越大越好，C=1---方案最满意C=0---表示此方案不能被接受。只要有一个方案，Ci=0，此方案都不能被接受功效系数类型：1）Ci与fi成正比，即要求目标函数越大越好2）Ci与fi成反比，即要求目标函数越小越好3）fi取某适当值时，Ci就越大；否则Ci就越小。4．功效系数法第六章第二节多目标优化方法功效系数的确定方法：①直线法②折线法第六章第二节多目标优化方法③指数法功效系数法的优点：1、各分目标函数的值数量级大小对优化无影响2、评价函数比较直观、易于调整3、适于要求目标函数取值适中的情况第六章第二节多目标优化方法基本思想：多目标优化问题中，存在目标函数间相互矛盾的情况，一个（些）目标函数值的减小，将导致另一个（些）目标函数值的增大。因此，各分目标函数值之间需要进行协调，以便取得合理的方案。如图所示，两维双目标函数f1(x)、f2(x)的等值线和两个不等式约束曲面.三、协调曲线法第六章第二节多目标优化方法f1(x)最优点T点，f2(x)最优点P点可行域中任意一点R.从R点起沿f1(x)=5等值线，向约束面移动f2(x)不断改善，直至边界上S点。从R点起沿f2(x)=8等值线，向约束面f1(x)移动不断改善，直至边界上Q点。f1(x)=5时，对应f2(x)的最佳点为S点由此可得f1(x)（或f2(x)）为定值时对应的最佳f2(x)（或f1(x)）的点关系曲线T-Q-S-P—协调曲线。f2(x)=8时，对应f1(x)的最佳点为Q点。均为约束边界点第六章第二节多目标优化方法S、Q点都比R点优该曲线反映了两个设计目标全部最佳方案的调整范围,再建立一个衡量设计方案满意程度的准则，建立一组反映不同满意程度的曲线u(f1,f2)，使随着满意度增加，同时使目标函数f1(x)和f2(x)都有所下降。满意度曲线与协调曲线的切点，即为最优设计方案。如图所示O点满意度曲线不同，则最优设计方案也不同。第六章第二节多目标优化方法基本思想：将多目标优化问题的各目标函数按重要程度排列，然后，依次对各个目标函数求最优解，而后一目标函数应在其前面目标函数最优解的集合域内寻优。1、分层序列法设分目标函数重要程度次序为：f1(x)、f2(x)，…则首先对f1(x)寻优：Dxfxf*11)(min在}{*1f的集合内对f2(x)寻优：*11*22)(|)(minfxfxDxfxf四、分层序列法和宽容分层序列法第六章第二节多目标优化方法问题：如其中第k个目标函数的最优解为唯一时，再往下求解就失去意义，而后面l-k个目标函数也没法得到最优化解。以下类推。2、宽容分层序列法基本思想：即先对各目标函数的最优值取一定的宽容量ε1，ε2，…，εl(0)，使求后一个目标函数最优值时，对前一些目标函数的约束扩大为在其最优值附近的某一范围内。Dxfxf*11)(min②1*111*22)(|)(minfxfxDxfxf③1,2)(i)(|)(min*2*33iiifxfxDxfxf……④1)-..,.1,2,()(|)(min*1*lifxfxDxfxfiiilll①第六章第二节多目标优化方法x~如图，两目标优化问题，不作宽容时，为最优解，即f1(x)的严格最优解，给定宽容值ε1，则最优解为x(1)第六章第二节多目标优化方法例1用宽容分层序列法求解)(maxxFDx式中，5.25.1|)9.2(1)(,cos)6(21)(;)()()(22121xxDxxfxxxfxfxfxFT解：如图所示，由2)(,2cos)6(21)()1(1)1(1maxxfxxxxfDx给定ε1=0.052，5.25.1,052.0)()(|)1(111xxfxfxD解9.1)9.2(1)()2(221maxxxxfDx∴2)(,948.1)(,9.1)2(2)2(1)2(*xfxfxxV—第六章第二节多目标优化方法等间隔的离散变量非均匀间隔离散变量→特例：整数变量—整数规划问题最简单处理办法：按连续变量处理，得最优解后，再圆整为最近的离散值问题：①圆整后的点在非可行域;②圆整为哪一个附近的离散值难于确定;③有些情况下设计变量不允许最后取整。第三节离散变量优化问题与离散变量优化方法一、概述离散变量第六章第三节离散变量优化问题与离散变量优化方法式中nCDRxxxDTpDRxxxx...21——离散变量子集合CTnppCRxxxx...21xD为空集时，为连续变量型问题xC为空集时，为全离散变量型问题——连续变量子集合约束非线性混合离散变量优化问题的数学模型：),...,2,1(),...,2,1(0)(..)(minmaxmin