构造法求数列通项公式专题讲座

构造法求数列通项公式专题讲座高中数学教师欧阳文丰制作引言•求数列的通项公式是数列的难点和重点内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。构造法的定义•所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。•基本思路：可用待定系数法,设•,与已知式子相比较得•,从而数列成等比数列,易得•.1nnapa1qp1nqap1111nnqqaappp类型1形如的递推式11,0,0nnapaqppq类型1形如的递推式•例1、已知数列满足，求数列•的通项公式。11,0,0nnapaqppq*111,21nnaaanN111,21nnaaa1121nnaa112a1111212nnnaa21nna解:因为,得且.所以.从而得.nnnaaaa求：已知练习,32,3111323nna答案：nnnanaaa求：已知练习)2(,43,92111)31(81nna答案：类型1形如的递推式11,0,0nnapaqppq•练习3、已知数列的前项和为，且••求数列的通项公式。nannS585nnSnana类型1形如的递推式11,0,0nnapaqppq类型2形如的递推式nbnf解法：只需构造数列，消去带来的差异．nfpaann11nqqqaqpqannnn111nbnnnqabqbqpbnn11一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再用待定系数法解决。na651a11)21(31nnnaana11)21(31nnnaa12n1)2(32211nnnnaannnab21321nnbbnnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32例2、已知数列中，，求解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型2形如的递推式nfpaann1•例3、类型2形如的递推式na2214nnnaSna已知数列前n项和求通项公式.2214nnnaS111214nnnaS)2121()(1211nnnnnnaaSS11121nnnnaaannnaa21211由得：于是所以.nnnqpaa112n22211nnnnaa1214121111aaSanna2nnann2)1(22212nnna上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以•练习1、数列满足，•则111232,3nnnaaana322,2321111nnnnnnnaaaa232,322111aaannnn又nna2232333)1(232nnann112)36()233(22nnnnna解：构成了一个以首项，公差为3的等差数列，nnnnanaaa求：已知练习)2(,55,52111nnna5)45(答案：nnnnanaaa求：已知练习)2(,221,13111nnnnnnna11221212答案：•解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令•，与已知递推式比较，解出,从而转化•为是公比为p的等比数列。banpaann1类型3形如的递推式)()1(1yxnapynxannyx,yxnanCBnAnpaann21)(2CBnAnapbnn同样令na)2(,123,411nnaaannnaBAnbaB，Anabnnnn则1,nnaa12)1(31nBnAbBAnbnn)133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取13nnbb61bnnnb32361132nann例4:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得•说明：（1）若为的二次式，则可设•;•(2)本题也可由•,•（）两式相减得•转化为求之.)(nfn)(2CBnAnapbnn1231naann1)1(2321naann3n2)(3211nnnnaaaannnqbpbb12nannS2*111,21nnaaSnnnNna练习1数列前项和为,且，求数列的通项公式。练习2在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项。543221nnaann练习a1=1求数列｛an｝通项。类型四：已知（利用取倒数法，构造等差数列）。为公差的等差数列。为首项，以是以分析：取倒数，pdaapdapapdaannnnn11111111na21annnaaa311na例5：数列中，若，，则31311,3111nnnnnnnaaaaaaanaa1,211121562,2562533)1(211nannnann解：又是首项为公差3的等差数列。nannnaaaa312,211nannnnnnnaaaaaaa121232311,312113,232),1(2111则令nnaa2531),31(213111aaann又31na252111)21(2531,)21(2531nnnnaa1)21(2531nna例6数列中，，求解：是首项为公比为的等比数列nnnnanaaaa求通项：已知练习,2,13,31111893nan答案：nnnnnaaaaaa求通项：已知练习,02,32111563nan答案：nnnnnssaasn,2,122,1321项和求前：已知练习121nsn答案：类型4补充形如的递推式.10,0nnnaabacadbccad，axbxcxdnnnabanb1nnbanb基本思路：一般的,设是递推关系的特征方程的两个根.(1)当时,可令,则为等比数列;(2)当时,可令,则为等差数列。.nnnabana11324,4nnnaaaana1324nnnaaa324xxx122,1xx11225101,244nnnnnnaaaaaa11112252nnnnaaaa12nnaa14a11131262aa1112225nnnaa11125252nnnnna例7在数列中,,求数列的通项公式。解:由于的特征方程的两根为,所以,两式相除得,.则数列为等比数列.因为,所以,所以,所以.}{na,Nn.325131nnnaaa例8．已知数列满足：对于都有,61a;na若求.32513xxx,025102xx解：作特征方程变形得,5,61a.1a.,811)1(11Nnnrprnabn,0nb.7nn.0bN,nn.N,7435581111nnnnbann令则∴对于∴2()(0)2axbfxaaxd类型5形如的递推式2()(0)2axbfxaaxdxx12、fx(){}anafann()12,3,n2111122()nnnnaxaxaxax11120axax12lnnnaxax2定理设，且是的不动点，数列满足递推关系，，则有；若，则是公比为的等比数列。{}nx14x21324nnnxxx{}nx例9（2010北京东城区二模试题）已知数列满足，求数列的通项公式．21324nnnxxx23()24xfxx()fxx121,3xx2213(1)112424nnnnnxxxxx2213(3)332424nnnnnxxxxx2111133nnnnxxxx111413343xx133111log2log33nnnnxxxx解：依题，记，令，求出不动点；由定理知：，，所以，又，所以．．11121231313131nnnnanax所以1311log13xx．又31log3nnnxax，令，则数列{}na1212nna31log3nnnxax133nannxx是首项为，公比为的等比数列．所以．由，得．nannnnSaS22,若12nnna补充例题设数列的前项和为成立，(1)求证：是等比数列。(2)求这个数列的通项公式