理论力学@10动量定理

225第10章动量定理10.1主要内容10.1.1质点系动量及冲量的计算质点的动量为vKm质点系的动量为CiimmvvK式中m为整个质点系的质量；对于刚体系常用iCiimvkK计算质点系的动量，式中vCi为第i个刚体质心的速度。常力的冲量tFS力系的冲量21d)(ttiittFSS或2121d)(d)(RttttittttFFS10.1.2质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(ddeitFK（1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(eiF，质点系动量守恒，即K=常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0xF，则xK=常量。10.1.3质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即)(ddddeiiicmtMtFvv对于刚体系可表示为)(1CieinimFa式中aCi表示第i个刚体质心的加速度。10.1.4定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，vC=常矢量，流出的质量与流入的质量相等。若流体的流量为Q，密度为ρ。流体流经弯管时的附加动约束力为226)(12NvvFQ式中v2,v1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。10.2基本要求1．能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。2．会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。3．会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。4．会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。10.3重点讨论动量定理的应用应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质点系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质点系的动量变化率或质心的加速度。应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点：1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，只需将外力表示在受力图上。2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即0)(eiF，iCiimvkK=常矢量当外力系的主矢量在某一轴（如x轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数，即0)(eixF，CxixixmvvmK=常数对于刚体系可表示为Cixivm=常数利用以上动量守恒的关系，可以确定系统的运动。10.4例题分析例10-1一水柱以速度v沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A，密度为，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量Fx和Fy。227解：选择叶片上的水柱为研究对象。因AB、CD两处截面积A和密度均相等，所以v1＝v2＝v，叶片仅改变水流速的方向。由动约束力的计算公式)(12NvvFQ向x、y方向投影，有1cos2AvFx得cos12AvFx或sin2AvFy例10－2质量为mA的小棱柱体A在重力作用下沿着质量为mB的大棱柱B的斜面滑下，设两柱体间的接触是光滑的，其斜角均为，如图。若开始时，系统处于静止，不计水平地面的摩擦。试求此时棱柱体B的加速度aB。解：由整体受力图看出，0xF，所以整个系统在x方向的动量守恒。初始时系统静止，即BxBAxAxvmvmKBBBAvmvvm)cos(r＝0得cosrvmmmvBAAB（a）将式（a）求导，得cosrammmaBAAB（b）228式中还包含一个未知量ar。因此，解决此问题还必须找到其他方程。由题设条件，棱柱体A沿棱柱体B滑下，由动能定理WTT0其中00T2r22r22221)cos2(2121)(21BBBBABBAyAxAvmvvvvmvmvvmT得sin021)cos2(21r2r22rgsmvmvvvvmABBBBA（c）将式（d）代入上式并化简可得sincoscos21r222sgmmmmmmmvAAABABAB（d）将式（d）对t求导，且rrddvts，再与式（a）、式（b）联立求解得sincossin2gmmmaABAB于是求得BAABAABmmgmmmgma22sin22sinsinsincos例10－3真空中斜向抛出一物体，在最高点时，物体炸裂成两块，一块恰好沿原轨道返回抛射点O，另一块落地点的水平距离OB则是未炸裂时应有水平距离OB0的两倍，求物体炸裂后两块质量之比。解：设炸裂后两物块的质量分别为m1与m2，炸裂前共同速度为v，炸裂后的速度分别为v1与v2。在最高点时，由于0xF，所以系统在x方向动量守恒，即常数xK，于是有221121vmvmvmm（a）为求出速度v、v1、v2之间的关系，则由题意设下落的水平距离02OBOB，即0000003BABBBABA（b）229由于炸裂前后，水平方向的运动为匀速运动，水平方向运动的距离正比于水平速度，即1000::vvBABA（c）将式（b）代入式（c）得3:1:1vvvv31同理vv2vmvmvmm21213所以解得21mm例10-4A物重FP1，沿楔状物D的斜面下滑，同时借绕过滑车C的绳使重FP2的物体B上升，如图10-7a。斜面与水平成角，滑轮、绳的质量和一切摩擦均略去不计。求楔状物D作用于地板凸出部分E的水平压力。（a）（b）解：首先应用动能定理求出系统的运动，然后用质心运动定理来求约束力。由动能定理WTT12其中22P21P22121vgFvgFT常数1TsFasFW2P1Psin于是，有sFasFTvgFvgF2P1P122P21Psin2121(a)对（a）式两边同时取导数，其中vtsdd，整理得gFFFaFa2P1P2P1Psin(b)以整个系统包括楔块D为研究对象，应用质心运动定理，有xCixiFamxFagPcos1(c)FP2FP1s230将式（b）得入式（c），得aFFFaFFagFFFaFgFFxcossincossin2P1P2P1P1P2P1P2P1P1P这是地板凸出部分对楔状物D的约束力，凸出部分E的水平压力的大小与它相等，方向与图示方向相反。例10-5匀质细杆AB长为l，质量为m，端点B放在光滑的水平面上。开始时，杆静立于铅垂位置如图示，受扰动后，杆倒下。求杆运动到与铅垂线成角φ时，杆的角速度、角加速度和地面的约束力FN。（a）（b）（c）解：以杆为研究对象，从其受力图（a）可知，0xF，即质心在x方向的位置守恒，利用此条件，可知质心C的速度沿铅垂方向：然后，用动能定理求杆的角速度、角加速度。)cos1(20212122lmgImvCC(a)利用vC铅垂向下，图（b）所示瞬时AB杆的瞬心为I，获得补充方程sin2lvC(b)将式（b）代入式（a）得)cos1(212121)sin2(21222lmgmllm)cos1(12)1sin3(22gl(c)于是1sin3)cos1(1222lg)1sin3()cos1(322lg(d)将式(c)对时间t求一阶导数，注意到ttdd,dd，化简后得sin12cossin6)1sin3(222gll)1sin3(2sin3sin12222llg(e)231最后，为求约束力FN，先求质心C的加速度aC，现以B为基点求aC，如图（c）所示nCBCBBCaaaa(f)其中22,2lalanCBCB将式（f）在铅垂上投影，有sin2cos22llaC将ω及ε的表达式（d）、式（e）代入，再用质心运动定理NFmgmaC求得)1sin3(4sin2sin3)sincos2cos2(122222NlgmmgmamgFC例10-6电动机的外壳固定在水平基础上，定子重FP1、质心为C1；转子重FP2、质心为C2。由于制造、安装误差，C2不在转轴上，其偏心距为e。已知转子匀角速度转动，角速度为，求基础的支座约束力。又假设电动机没有螺栓固定，且各处摩擦均不计，若整个电动机处于静止状态时，转子开始匀速转动，求电动机外壳的运动。解：先研究电动机固定在基础上的情形，整个电动机由两部分组成，这两部分质心的运动规律均为已知。可以运用质心运动定理求外力的主矢。以整个电动机为研究对象，定子质心C1加速度为零。转子质心C2的加速度为e2，方向始终指向转轴。所受外力为FP1、FP2、Fx、Fy和力偶距M。由质心运动定理xxxFtegFFmasin,22P2P1P22Pcos,FFFtegFFmayyy于是FP1FP2FP2FP1232tegFFPxsin22tegFFFFycos22P2P1P再来研究电动机没有固定的情形。此时，电动机只受重力和地面的法向约束力，电动机在水平方向没有外力，整个系统由静止开始运动，因此，系统的质心坐标xC应保持不变。假设开始时，转子在铅垂位置，即，0t，转子转动后，定子也要有位移。设定子的水平位移为s，如图所示，则转子质心的位移为tessin，此时系统的质心不变，则0sin2P1PtesgFsgF解得tPPePssin212式中负号说明，定子的位移不是向右而是向左平移。由此可见，当转子有偏心而又没有螺栓紧固在基础时，电动机转动起来后，机座将在光滑的水平面上作简谐运动。在铅垂方向，Fy的最小值为22P2P1PminegFFFFy解得geFFF2P2P1P电动机将跳离地面。蛙式夯机的夯头架所以能自动跳起来，就是这个道理。例10-7今有长为AB＝2a，重为Q的船，船上有重为FP的人，设人最初是在船上A处，后来沿甲板向右行走，如不计水对于船的阻力，求当人走到船上B处时，船向左方移动多少？解：将人与船视为一质点系。作用于该质点系上的外力有人和船的重力FP和Q及水对于船的约束力FN，显然各力在x轴上投影的代数和等于零。此外，人与船最初都是静止的，FPFNQ233于是根据质心运动定理可知，人与船的质心的横坐标Cx保持不变。当人在A处船在AB位置时，质心的坐标为QFabQbFgQgFabgQbgFxCPPPP1)()(当人走到B处时，设船向左移动的距离为l，在此情形下，人与船的质心的坐标为QFlabQlabFgQgFlabgQlabgFxCPPPP2)()2()()2(由于常量21CCxx，于是得到QFlabQlabFQFabQbFPPPP)()2()(＝由此求得船向左移动的距离为QFFalPP2由以上结果看出：（1）人向前走，船向后退，改变人和船运动的力是人与船间的摩擦力，这是质点系的内力。因此，内力虽然不能直接改变质心的运动，但能改变质点系内各质点的运动。(2)船后退的距离取决于人走的距离2a和人与船的重量比值QFFPP，比值越小则船移动的距离也越小例10-8匀质曲柄OA质量为m1、长为r，以匀角速度绕O转动，带动质量为m3的滑槽作铅垂运动，E为滑槽质心，DE＝b，滑块A的质量为m2。当t=0时，＝0。不计摩擦，试求＝30时：(1)系统的动量；（2）O处铅垂方向的约束力。23