计算机控制技术-第5章-计算机控制系统模拟化设计

第5章计算机控制系统模拟化设计第5章计算机控制系统模拟化设计第5章计算机控制系统模拟化设计5.1概述数字控制器的模拟化设计法是先将图5.1所示的计算机控制系统看作模拟系统，如图5.2所示。针对该模拟系统，就可以采用连续系统设计方法设计闭环控制系统的模拟控制器，然后用本章介绍的离散化方法将此其离散化成数字控制器，即转换成图5.1所示的计算机控制系统。第5章计算机控制系统模拟化设计u*(t)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)图5.1离散闭环控制系统D(z)TZOHG0(s)G(z)u(t)y(t)r(t)e(t)图5.2模拟闭环控制系统D(s)G0(s)第5章计算机控制系统模拟化设计模拟控制器D(s)与数字控制器D(z)之间的等效离散原理和等效条件：设有模拟信号u0(t)，零阶保持器的输入为u0*(t)，输出为u(t)，如图5.3所示。对于离散信号u0*(t)它的频谱函数为其中为采样角频率。u0*(t)u(t)图5.3零阶保持器的信息传递u0(t)TseTs1*001()()skUjUjjkT第5章计算机控制系统模拟化设计对于零阶保持器的频率特性为零阶保持器输出u(t)的频率特性为当系统的采样周期很小，即采样角频率足够高时，由于保持器的低滤波性，除了的主频谱（k=0时）之外，其高频部分全部被滤掉，则上式化简为21sin(/2)()/2jTjTheTGjTejT*020()()()sin(/2)()/2hjTskUjGjUjTeUjjkT20sin(/2)()()/2jTTUjeUjT第5章计算机控制系统模拟化设计当信号U0(jω)的截止频率ωmaxωs时，则所以上式说明，两者唯一的差别仅仅是由零阶保持器产生的相位移，如果能补偿这一相位移或者大大减小这一相位移对系统的影响（如前置滤波、超前校正等），就可以保证离散控制器和模拟控制器具有完全一致或极接近的频率特性，即实现二者的完全等效。若ωmax/ωs1/10时，其滞后相角大约为18˚，于是，就有即sin(/2)1/2TT20()()jTUjeUj/2jTe0()()UjUj)()(0tutu第5章计算机控制系统模拟化设计由以上分析可知，若系统的采样频率相对于系统的工作频率是足够高的，以至于采样保持器所引起的附加滞后影响可忽略时，系统的数字控制器可用模拟控制器代替，使整个系统成为模拟系统，从而可用模拟化方法进行设计。等效的必要条件是使采样周期T足够小，这是计算机控制系统等效离散化设计方法的理论依据。应用该方法，当采样周期较大时，系统实际达到的性能往往比预期的设计指标差，也就是说，这种设计方法对采样周期的选择有比较严格的限制，但当被控对象是一个较慢过程时，该方法可以得到比较满意的结果。第5章计算机控制系统模拟化设计模拟化设计方法的一般步骤如下：1．根据性能指标要求和给定对象的G0(s)，用连续控制理论的设计方法，设计D(s)。2．确定离散系统的采样周期。3．在设计好的连续系统中加入零阶保持器。检查由于零阶保持器的滞后作用，对原设计好的连续系统性能是否有影响，以决定是否修改D(s)。为了简便起见，零阶保持器的传递函数可近似为：TsseeseTsTsTs/22112/2/第5章计算机控制系统模拟化设计4．用适当的方法将D(s)离散化成D(z)。5．将D(z)化成差分方程。二阶工程设计法:假设图5.2所示的连续系统为一个二阶系统，其闭环传递函数可表示为当时，阻尼系数ξ=0.707，其性能最好，则得11)()()(122sTsTsRsYsW2212TT1211)(1221sTsTsW第5章计算机控制系统模拟化设计其开环传递函数为因此，二阶工程设计法的设计目标是：在给定不同的控制对象时，选择适当的模拟控制器D(s)，使系统具有上式的开环传递函数。例5.1对于图5.2所示的二阶系统，设，试按二阶工程设计法求模拟控制器D(s)。解：设设则)12(1)()()(110sTsTsGsDsGk1)(10sksGsTsDI1)()12/(1)1()()()(1110sTsTssTksGsDsGI112T112kkTTIsksD121)(第5章计算机控制系统模拟化设计5.2模拟控制器的离散化方法从信号理论角度来看，模拟控制器就是模拟信号滤波器应用于反馈控制系统中作为校正装置。滤波器对控制信号中有用的信号起着保存和加强的作用，而对无用的信号起着抑制和衰减的作用。模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器。第5章计算机控制系统模拟化设计5.2.1冲激不变法1．设计原理冲激不变法的基本思想是：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟滤波器的脉冲响应函数的采样值。设模拟控制器的传递函数为在单位脉冲作用下输出响应为其采样值为niiiasAsEsUsD1)()()(nitaiieAsDLtu11)()(nikTaiieAkTu1)(第5章计算机控制系统模拟化设计即数字控制器的脉冲响应序列，因此得到例5.5已知模拟控制器求数字控制器D(z)。解：控制算法为：)(1)()(11sDzeAkTuzDniTaiiasasD)(11)()(zeasDzDaT)1()()(kuekaekuaT第5章计算机控制系统模拟化设计2．特点及应用范围冲激不变法的特点是：(1)D(z)与D(s)的脉冲响应相同。(2)若D(s)稳定，则D(z)也稳定。(3)D(z)不能保持D(s)的频率响应。(4)D(z)将ωs的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了混叠现象。其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原连续控制器D(s)。第5章计算机控制系统模拟化设计5.2.2加零阶保持器的Z变换法这种方法就是用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行Z变换离散化成数字控制器，即加零阶保持器Z变换法的特点：1．若D(s)稳定，则D(z)也稳定。2．D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。)(1)(sDsezDTs第5章计算机控制系统模拟化设计5.2.3差分变换法模拟控制器若用微分方程的形式表示，其导数可用差分近似。常用的一阶差分近似方法有两种：前向差分和后向差分。1．后向差分变换法对于给定其微分方程为用差分代替微分，则两边取Z变换得ssEsUsD1)()()()()(tedttdu()()(1)()dutukukekdtT)()()1(1zTEzUz第5章计算机控制系统模拟化设计即可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同，由此可得如下等效代换关系：便可得到D(z)，即后向差分变换法的特点：(1)稳定的D(s)变换成稳定的D(z)。(2)D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。TzzEzUzD111)()()(Tzs11TzssDzD11)()(第5章计算机控制系统模拟化设计2．前向差分变换法如果将微分用下面差分代替，得到两边取Z变换得即由此可得如下等效代换关系可得到前向差分变换法中稳定的D(s)不能保证变换成稳定的D(z)，且不能保证有相同的脉冲响应和频率响应。()(1)()()dutukukekdtT)()()1(zTEzUzTzzEzUzD11)()()(Tzs1TzssDzD1)()(第5章计算机控制系统模拟化设计5.2.4双线性变换法双线性变换又称塔斯廷(Tustin)变换法，它是s与z关系的另一种近似式。由Z变换的定义和级数展开式可知取得因此即22TsTsTseeez212TseTs212TseTs2121TsTsz11112zzTs)1()1(211)()(zTzssDzD第5章计算机控制系统模拟化设计双线性变换的特点：(1)将整个S平面的左半面变换到Z平面的单位圆内，因而没有混叠效应。(2)稳定的D(s)变换成稳定的D(z)。(3)D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。第5章计算机控制系统模拟化设计5.2.5频率预畸变双线性变换法上述的双线性变换，将S平面的虚轴变换到Z平面的单位圆周，因而没有混叠现象。但是在模拟频率Ω和离散频率ω之间却存在非线性关系。当ωT取值0～π时，Ω的值为0～∞。这意味着，模拟滤波器的全部频率响应特性被压缩到离散滤波器的0ωTπ的频率范围之内。这两种频率之间的非线性特性，使得由双线性变换所得的离散频率响应产生畸变，可以采用预畸变的办法来补偿频率特性的畸变。22TtgT第5章计算机控制系统模拟化设计其补偿的基本思想是：在D(s)未变成D(z)之前，将D(s)的断点频率预先加以修正（预畸变），使得预修正后的D(s)变换成D(z)时正好达到所要求的断点频率。用预畸变双线性变换法设计的步骤如下：1．将D(s)的零点或极点(s+a)以a′代替a，即作预畸变得到2．将变换为D(z)，k为放大系数，利用求出。22)()(aTtgTaasas),(asD),(asD)1()1(211),()(zTzsasDkzD1)(lim1zDz第5章计算机控制系统模拟化设计例5.10已知模拟控制器，求数字控制器D(z)。解：作预畸变asasD)(22aTtgTa22),(aTtgTsaasD22112)(11aTtgTzzTakzD122112lim111aTtgTzzTakzaaTtgTk2211)21(211)(zaTctgaTctgzzD第5章计算机控制系统模拟化设计预畸变双线性变换的特点：(1)将S平面左半面映射到Z平面单位圆内。(2)稳定的D(s)变换成稳定的D(z)。(3)没有混叠现象。(4)D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。(5)所得的离散频率响应不产生畸变。第5章计算机控制系统模拟化设计5.2.6零极点匹配法S域中零极点的分布直接决定了系统的特性，Z域中亦然。因此，当S域转换到Z域时，应当保证零极点具有一一对应的映射关系，根据S域与Z域的转换关系z=eTs，可将S平面的零极点直接一一对应地映射到Z平面上，使D(z)的零极点与连续系统D(s)的零极点完全相匹配，这等效离散化方法称为“零极点匹配法”或“根匹配法”。第5章计算机控制系统模拟化设计零极点匹配变换的步骤：1．将D(s)变换成零极点的形式。2．将D(s)的零点或极点映射到Z平面的变换关系为：实数的零点或极点:共轭复数的零点或极点:得到控制器D1(z))())(()())(()(2121nmspspspszszszsksD)1()(1zeasaT)cos21())((221zebTzejbasjbasaTaT第5章计算机控制系统模拟化设计3．在z=1处加上足够的零点，使D(z)零极点个数相同。4．在某个特征频率处，使D(z)的增益与D(s)的增益相匹配。即设为kz增益系数，由确定1()()zDzkDz10)()(zszDsD第5章计算机控制系统模拟化设计特点：(1)从上述各方法的原理看，除了前向差分外，只要原有的连续系统是稳定的，则变换以后得到的离散系统也是稳定的。(2)采样频率对设计结果有影响，当采样频率远远高于系统的截止频率时(100倍以上)，用任何一种设计方法所构成的系统特性与连续系统相差不大。随着采样频率的降低，各种方法就有差别。按设计结果的优劣进行排序，以双线性变换法为最好，即使在采样频率较低时，所得的结果还是稳定的。其次是零极点匹配法和后向差分。再次是阶跃