数学专业毕业论文近世代数

1群及其简单性质摘要：首先本文给出群的定义，继而讨论群的各种基本性质。并且讨论了一种很重要的群——循环群。本文的最后详细讲解了群同态的一些性质及其应用。关键词：群、群的性质、循环群、群同态；GroupanditssimplepropertiesAbstract：Firstthedefinitionofgroupisgiven,andgroupsofallkindsofbasicpropertiesarediscussed.anditdiscussesonanimportantgroupofcyclicgroup.attheendofthisarticlesomepropertiesandapplicationsofthegroupofhomomorphismarediscussedindetail.KeyWords：group,thepropertiesofgroup,cyclicgroup，groupofhomomorphism；0前言：近世代数（modernalgebra）又称为抽象代数（abstractalgebra），它的研究对象是代数系统，所谓代数系统，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。由于代数系统中运算个数以及对运算所要求的附加条件不同，从而产生了各种不同的代数系统，这就形成了近世代数各个不同的分支。其中最基本、最重要的分支是：群论、环论和域论，其中群论是基础。体系的性质取决于一些基本定律(如闭合律、结合律、交换律、分配律、零和单位元素、负和逆等)中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群是现代代数学中最基本、最重要的代数系，是一个非常活跃的领域，也是目前研究成果最丰富、研究最广泛的代数系。群，简而言之是对某种运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代数系的提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用，是代数发展史上由古典代数进入近世代数的里程碑。1群的基本概念1.1群的定义定义1设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算满足：(1)结合律：对Gcba,,，有)()(cbacba。则称G是一个半群，2记作),(G。若),(G还满足：(2)存在单位元e使对Ga，有aeaae；(3)对Ga有逆元1a，使eaaaa11，则称),(G是一个群。当二元运算“”为通常的加法时，),(G称为加法群或加群；当二元运算“”为通常的乘法时，),(G称为乘法群或乘群。定义中条件(2)可改为：有一个左单位元Le（或右单位元Re），使aaeL（或aeaR），对Ga成立。因为由此可推出RRLLeeee。定义中条件(3)可改为：对Ga，有一个左逆元1La（或右逆元1Ra），使eaaL1（或eaaR1）成立。因为由此可推出11111111)()(RRRLRLLLaaeaaaaaaeaa。1.2群定义的应用定理1半群),(G是群的充要条件是：对Gba,，方程bax和bya在G中均有解。定理2半群),(G是群的充要条件是左、右消去律都成立：yxayaxa,0，yxyaxaa,0。如果半群中含有单位元，则称为含幺半群。如果群),(G适合交换律：对Gba,，有abba，则称G为可换群或阿贝尔(Abel)群。通常把群的定义概括为四点：封闭性、结合律、单位元和逆元。如果一个群G是个有限集，则称G是有限群，否则称为无限群。G的元素个数G称为群的阶。例1：1,,2,1,0nZn是整数模n的同余类集合，在nZ中定义加法（称为模n的加法）为baba。3由于同余类的代表元有不同的选择，我们必须验证以上定义的运算结果与代表元的选择无关。设21aa，21bb，则有)(21aan，22112211212121)()()()()(babababanbbaanbbn所以模n的加法是nZ中的一个二元运算。显然，单位元是0，nZk，k的逆元是kn。所以),(nZ是群。例2：设1),(,nkZkkZnn，在nZ中定义乘法（称为模n的乘法）为abba。对这个运算不仅需要检验它的唯一性，而且要检验它的封闭性，因为由nZa，nZb得出nZab并不明显。先证封闭性：因为由1),(,naZban和1),(1),(nabnb，所以nZab。再证唯一性：设21aa，21bb，则有)(21aan，22112211122212221112212211212121)()]()()[()()()()(babababanbbabaababanbabababanbbaanbbn所以模n的乘法是nZ中的一个二元运算。结合律显然满足。单位元是1。对nZa，由1),(na知Zqp,，使1qnpa，因而有)(mod1npa，即1paap，所以pa1，即nZ中每一元素均有逆元。综上，nZ对模n的乘法构成群。nZ的阶数为)(n—欧拉函数：小于n并与n互素的正整数的个数。1.3群的基本性质(1)群中单位元是唯一的证明：设G中有两个单位元1e和2e，则有：2211eeee，所以单位元是4唯一的。在不致混淆的情况下，单位元简记为1。(2)群中每个元素的逆元是唯一的证明：设Ga，a有两个逆元Ga11和Ga12，则有：1212121112111111)()(aeaaaaaaaeaa，所以a的逆元是唯一的。a的逆元有以下性质：(1)aa11)(；(2)若ba,可逆，则ab也可逆，且有111)(abab；(1)若a可逆，则na也可逆，且有nnnaaa)()(11。2子群定义2设S是群G的一个非空子集，若S对G的运算也构成群，则称S是G的一个子群，并记作：GS。当GS且GS时，称S是G的真子群，记作GS。定理3设S是群G的一个非空子集，则以下三个命题互相等价：(ⅰ)S是G的子群；(ⅱ)对Sba,，有Sab和Sa1；(ⅲ)对Sba,，有Sab1。当然，若群G的有限子集H做成子群的充要条件是S对G的乘法封闭，即：Sba,有Sab。事实上，必要性是显然的，下证充分性。设S对G的乘法封闭，则对S中任意元素a和任意正整数m有Sam。由于S中每个元素都有限，设na，则Sean，从而eaan1，亦即又有Saan11.故GS。2.1不变子群的定义设N是群G的一个子群，如果对G中每一个元素a都有NaaN，即NaNa1，则称N是群G的一个不变子群（或正规子群）。若N是群G的一个不变子群，则简记为GN.若GN且GN,则记为5GN。定理1设G是群，GN。则N是群G的一个不变子群的充要条件是NanaGa1有.证明是显然的。3循环群3.1循环群的定义设G是群，Ga，令：ZkaHk，因为Haakk21,，有Haaakkkk21211)(，所以H是G的子群，此子群称为由a生成的循环子群，记作a，a称为它的生成元。若G=a，则称G是循环群。循环子群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集也可生成一个子群。定义3设S是群G的一个非空子集，包含S的最小子群称为由S生成的子群，记作S，S称为它的生成元集。如果SG，且任何S的真子集的生成子群均不是G，则称S是G的极小生成元集。任何一个生成子群都有一个极小生成元集。当S时，元素个数最少的生成元集称为最小生成元集。例3整数加群Z是无限循环群。事实上，Z1，又对任意整数n，有1nn，故1Z,即Z是一个无限循环群，1是它的一个单位元。另外易知，1也是它的一个单位元。定理1设aG为任一循环群，则1当a时，,,,,,,212aaeaaaG为无限循环群，且与整数加群Z同构;2当na时，132,,,,,naaaaeaG为n阶循环群，那么G与模n的剩余类加群同构。证明第一个情形：a的阶无限，这时，hkaa，当而且只当h=k的时候。6由h=k，可得hkaa，显然。假如hkaa而hk，我们可以假定hk，而得到hkae，与a的阶是无限的假定不合。这样，kak是G与整数加群G间的一一映射。但hkhkaaahk所以GG第二种情形：a的阶是n，nae，这时，hkaa，当而且只当nhk的时候。假如nhk，那么hknq，hknq()hknqknqknqkqkaaaaaaaea假如hkaa，叫hknqr，01rn，那么hknqrnqrrreaaaaeaa由阶的定义，r=0,也就是说，nhk。这样，[]kak是G与剩余类加群G间的一一映射。但[][][]hkhkaaahkhk所以GG3.2循环群的性质性质1:任何循环群都是Abel群。性质2:所有无限循环群彼此同构，具有给定阶数n的所有有限循环群也彼此同构。7事实上:如果任何一个元素Ka使整数K和它相对应,则一个以元素a为生成元的无限循环群即可相互单值地映射到整数加群上;至于这个映射之为同构映射则由这样一个事实看出,即元素的幂相乘时,它们的指数相加。用同样方法可得任何阶循环群到n次单位根群上的同构映射。性质3:循环群的任一子群仍为循环群。事实上,假设()Ga是一个以元素a为生成元的无限或有限阶循环群,而H为G中不等于E的子群,再假定包含在H中的元素a的最低正幂为ka,这时有()kaG。假定H同时还包含一个元素,0lal且l不能被k所整除,这时,如果(,),0kldd，d是k和l的最大公约数,就有两个这样的整数u和v与存在,使得kuLvd,因此H应包含元素()()kulvdaaa但因dk;所以我们得出的结果和元素ka的选择相矛盾。因此()kHa。性质3说明:1如果某一群G有子群不是循环群,那么G一定不是循环群。2群H如果是某一循环群的子群,则它必是循环群。但若,群G的所有真子群均为循环群,G本身可以不是循环群。如几何毕中著名的Klein四元群。性质4:若12,,,nHHH是循环群()Ga的子群,则它们的交群1nkkHH也是循环群。性质5:循环群的阶数n是它所有元素阶数的最小公倍数。事实上,由Lagrange定理可知,G中每个元素的阶数都是n的约数,所以n是它们的公倍数。设m为G中所有元素的阶数的任一公倍数,则G中每一个元素的阶都能整除m。由于有阶为n的元,所以nm,这说明n是G中所有元素的阶数的最小公8倍数。4群的同态4.1同态的定义设G，G是两个群，G到G的一个映射f是G到G的一个同态映射，如果对于任意的a,bG，均有f(ab)=f（a）f(b)。注：（1）若G到G的同态映射f是G到G的满射，则说f是G到G的满同态，记为G～G，这是称G为在f（作用）下G的同态象。（2）若G到G的同态映射f是G到G的单射，则说f是G到G的单一同态。（3）f既是G到G的满同态又是G到G的单一同态，则说f是G到G的同构映射，记为GG。4.2同态的简单性质同态的基本定理：设G是一个群，则G的一个商群G/N与G同态；反之，若G和G是两个群，并且G和G同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群，并且G/NG。注：定理前一部分告诉我们，一个群G和它的每一个商群同态；定理后面部分告诉我们，抽象的来看，G只能和它的商群同态，所以我们可以说定理后面部分是定理前一部分的反面。我们知道，当群G和G同态的时候，G的性质并不同G的完全一样，但定理后面部分告诉我们，这时我们一定找得到G的一个不变子群N，使得G的性质和商群G/N的完全一样。从这里我们可以看出不变子群和商群的重要意义。定理一（同态的基本定理）：设G是一个群，则G的一