短时傅里叶变换及其应用

-1-短时傅里叶变换及其应用1引言传统傅里叶变换（FourierTransform）分析方法已经在众多的领域内产生巨大影响。特别在1965年之后，快速傅里叶变换（FFT）算法的发现及改进使得离散傅里叶变换（DFT）实现了高效的数学实现，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，加速了离散时间信号与系统分析技术的发展。但长久以来，人们也发现了傅里叶分析方法存在的一些不足，正如詹姆斯·凯塞（JamesF.Kaiser）曾经说过，“最多被使用的信号处理工具是FFT，而最多被滥用的信号处理工具也是FFT”。从20世纪80年代以来，数字信号处理技术在联合时频分析（JointTime-frequencyAnalysis）方法方面有了很大的发展，各种联合时频分析方法得到了广泛的研究和应用，并逐渐形成了一套独特的理论体系。它的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。短时傅立叶变换（Short-timeFourierTransform，STFT）就是其中的一种最简单的联合时频分析方法。本文具体研究了短时傅里叶分析与综合，测不准原理，STFT的分辨率，STFT的优缺点和窗函数的相关内容，最后借助MATLAB进行了相应的仿真并对仿真结果进行分析。2传统傅里叶变换2.1傅里叶变换的定义连续时间信号s(t)的傅里叶变换（FourierTransform）的数学表达式：（2-1）式（2-1）所表示的傅里叶正变换也称为傅里叶分析。信号s(t)的傅里叶变换的逆变换的数学表达式：（2-2）式（2-2）所表示的傅里叶逆变换也称为傅里叶综合。2.2傅里叶变换的意义热的传播与扩散现象是导致傅里叶研究成果的实际物理背景。由式（2-1）可以看出傅里叶变换是一种线性的积分变换，它能够将满足一定条件的某个函数表示成为一组复指数函数的积分。由式（2-2）可以看出S(jω)告诉我们将s(t)表示为不同频率正弦信号的线性组合（就是积分）所需要的信息。傅里叶变换及其逆变换可以将信号的时域描述和频域描述联系起来。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。由式（2-2）容易求出傅里叶变换的逆变换，而且逆变换的形式与正变换非常类似。对用线性常系数微分方程表征的系统运用傅里叶变换的微分性质，这样可容易地求得系统的频率响应。另外在对线性时不变的物理可实现系统进行分析时，系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。卷积定理还指出：傅里叶变换可以化简复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。离散傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（FFT）。基于以上良好的性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。2.3傅里叶变换的缺陷2.3.1不适用于非平稳信号若一个随机过程ξ(t)的任意的有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数Δ，有（2-3）则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。可见平稳随机过程具有简明的数字特征：均值与时间t无关，为常数；自相关函数只与时间间隔τ有关。实际中把同时满足这两个条件的过程定义为广义平稳随机过程[1]。如果一个信号不是广义平稳的，则称它是非平稳的或时变的。对于非平稳信号而言，由于其频谱含量随时间有较大的变化，要求分析方法能够准确的反映出信号的这种局部时变频谱特性，只了解信号在时域或者频域的全局特性是远远不够的，或者说是不适合的。而傅立叶变换及其逆变换是一种信号的整体变换，要么完全在时域进行分析处理，要么完全在频域进行分析处理，无法给出信号频谱含量随时间的变化规律。为了分析和处理非平稳信号，就需要使用信号的时域和频域的二维联合表示，即联合时频分析方法。2.3.2没有局域性傅里叶变换及其逆变换可以将信号的时域描述和频域描述联系起来。但是通过傅里叶变换建立起来的时域-频域关系无“定位”能力，即若需知道某一频率ω0处的S(jω0)，则需要知道s(t)在-∞t+∞内的所有值，反之亦然[2]。也就是说，无法从局部时刻的s(t)得到某一局部频率的S(jω)，反过来也是如此。2.3.3时域与频域分割傅里叶变换及其逆变换使用的是一种全局的线性处理方法，要么完全在时域，要么完全在频域。尽管时间信息隐含在傅里叶变换结果的相位描述中，但通常是不便于理解的[3]。即单凭傅里叶变换，我们难以弄清楚信号的频率成分随时间是怎样变化的。从时域波形中很难发现它的频率特性；同样的，在频谱图中也难知道具体频率是发生在哪些时间段。2.4本章小结传统傅里叶变换在众多领域产生巨大影响，然而它本身也存在不适用于非平稳信号，没有局域性以及时域与频域分割的缺陷。要克服这些缺陷，就需要寻求联合时频分析方法。3短时傅里叶分析及其综合3.1STFT提出的背景与基本思想鉴于传统傅里叶变换的缺陷提出了联合时频分析方法。此概念由尤金·维格纳（EugeneWigner）于1932年提出，即找到一个二维函数，它可以把信号的时域分析和频域分析结合起来，联合时频分析的结果既反映了信号的频率内容，也反映了频率内容随时间变化的规律。该方法大体可分为两类：线性联合时频分析方法和非线性联合时频分析方法。线性联合时频分析方法主要包括短时傅里叶变换、Gabor展开及小波变换。对于非线性联合时频分析方法，它包括Wigner-Ville分布和广义的双线性时频分布等[2]。在1946年，丹尼斯·加博尔（DennisGabor）提出了短时傅里叶变换和Gabor展开的概念。短时傅里叶变换，其基本思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅里叶变换。加窗处理使得变换结果为时刻t附近的很小时间段上的局部谱，窗函数可以根据时间t的变化在整个时间轴上平移，即利用窗函数可以将任意时刻t附近的频谱实现时间局域化，从而构成信号的二维时频谱。即使信号s(t)是非平稳的或时变的，但加窗处理将它分成许多小段后，可以假定每一小段的信号都是平稳的，所以短时傅里叶变换也可以用于非平稳信号或时变信号的分析。3.2短时傅里叶分析3.2.1连续时间短时傅里叶变换3.2.1.1数学表达式连续时间信号s(t)的短时傅里叶变换（Continuous-timeSTFT）的数学表达式[3]为（3-1）上式中为窗函数,通常是实偶的。另有对于连续时间信号s(t)，，称为内积或点积[3]。对于连续时间信号s(t)的短时傅里叶变换，其实现原理可以利用图（3-1）所示的框图表示[2]。图3-1Continuous-timeSTFT的实现原理框图3.2.1.2公式涵义在时域用窗函数去截信号s(t)，同时认为截取下来的局部信号是平稳的。然后对截取下来的局部信号作傅里叶变换，即在t时刻附近计算信号的傅里叶变换；再不断地改变t的数值，也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻附近的傅立叶变换，这些傅立叶变换的集合即是STFT(t,ω)。STFT(t,ω)是一个二维的复函数，它表示信号s(t)随时间和频率变化的幅度和相位。短时傅里叶变换可以看成是用基函数来代替傅里叶变换公式中的基函数。3.2.2离散时间短时傅里叶变换离散时间信号s[n]的短时傅里叶变换（Discrete-timeSTFT）的数学表达式[2]：（3-2）为窗函数。公式（3-2）中n为离散的，而ω是连续的，即离散时间短时傅里叶变换在时间上是离散的，而在频率上是连续的。3.2.3离散短时傅里叶变换在数字信号处理的应用中，有必要将连续时间信号的STFT中每段窗内信号的连续时间傅里叶变换用离散傅里叶变换代替，结果得到的短时傅里叶变换在时间上和频率上都是离散的，这样将便于数字计算机实现。离散短时傅里叶变换（DiscreteSTFT）的数学表达式[3]为s(τ)FTγ(τ-t)STFT(t,ω)（3-3）公式（3-3）中，窗函数每次平移的步长为1点。另有（3-4）式（3-4）中Δt表示采样时间间隔。是L点的窗函数。容易得出离散短时傅里叶变换在频率上具有周期性，即（3-5）其中k=0,±1,±2,±3,…3.3短时傅里叶综合3.3.1综合的条件[3]短时傅里叶变换也可以看作是时域到时间-频率域的一个映射。对于任意的时域函数s(t)和窗函数γ(t),这样的映射总是存在的，但是对于短时傅里叶变换的逆变换（短时傅里叶综合）却并不总是这样。换句话说，给定一个函数γ(t)和一个任意的二维函数B(t,ω)，并不一定存在这样一个信号s(t)，使它的短时傅里叶变换等于B(t,ω)。这时，二维函数B(t,ω)就不是一个有效的短时傅里叶变换。一个简单的例子如下：（3-6）4.1节的内容将证明：如果一个信号在时域是有限长的，则该信号在频域即为无限长；反之，如果信号在频域为有限长，则它在时域是无限长的。也就是说，没有信号可以同时满足在时域及频域都是有限长的。那么显然，式（3-6）中的B(t,ω)不是一个有效的时间-频率描述。一个有效的短时傅里叶变换B(t,ω)的傅里叶逆变换是可分离的，即（3-7）式（3-7）中μ和t是等效的时间变量。3.3.2一维逆变换表示如果用短时傅里叶变换的一维逆变换表示，即有（3-8）在式（3-8）中，μ和t是等效的时间变量，若令μ=t，则（3-9）3.3.3二维逆变换表示考虑（3-10）若h*(t-τ)=γ(t-τ),则（3-11）其中（3-12）式（3-12）用短时傅里叶变换的二维逆变换来表示s(t)。这里的理解可以是，信号s(t)用基函数展开，而是在时频点（τ,ω）的邻域内对信号s(t)的贡献。3.4本章小结本章首先讨论了短时傅里叶变换提出的背景及基本思想，再研究了STFT的分析与综合。连续时间短时傅里叶变换存在很高的冗余度，而离散短时傅里叶变换则改善了该问题，并且它便于用数字计算机实现，是在工程实践中所采用的分析方法。同样，工程上使用离散短时傅里叶综合，所利用的方法是Gabor展开[3]。4测不准原理测不准原理（UncertaintyPrinciple），又名不确定性原理，是量子力学的一个基本原理。关于该原理的一个典型的例子就是一个粒子的位置和动量。根据测不准原理，一个粒子的位置（动量）越确定，那么它的动量（位置）就越不确定。测不准原理是大自然最基本的现象之一。傅里叶变换为测不准原理提供了完美的数学模型，通过傅里叶变换可以解释测不准原理。4.1时间长度和频带宽度的关系由于信号的时域描述与频域描述可以通过傅里叶变换联系起来，因此信号的时间和频率特性就不是相互独立的。当信号具有有限的时间长度，它的频带宽度必然无限宽，反之亦然。即没有信号同时具有有限的时间长度和有限的频带宽度[3]。为了证明这一事实，可以先反向假设。即假设存在一个非零的信号s(t)同时具有有限的时间长度T和有限的频带宽度B。即s(t)满足式（4-1），，（4-1）又由假设条件可得，在时间T的范围内，应该至少能找到一点t0使，即有，（4-2）将（4-3）代入式（4-2），则有，（4-4）再由傅里叶变换的微分性质有，，（4-5）因此s(t0)总是等于零的，这与假设矛盾，所以假设不成立，从而证明了结论。4.2测不准原理4.2.1窗的中心和半径4.2.1.1时窗对时窗函数，可仿照力学中的重心和转动惯量来定义时窗中心和时窗半径。时窗中心的数学表达式如式（4-6）所示，（4-6）时窗半径的数学表达式如式（4-7）所示，（4-7）这样定义的时窗函数γ(t)的窗口为[]，窗口宽度为。可以按定义推导出时窗函数γ(t-τ)的时窗中心及时窗半径的数学表达式：（4-8）（4-9）4.2.1.2频窗时窗函数γ(t)的傅里叶变换Г(jω)为频窗函数。定义频窗中心为（4-10）频窗半径为（4-11）这样定义的频窗函数Г(jω)的窗口为[]，窗口宽度为。当频窗平移η后，频窗为Г[j(ω-η)]，相应的频窗中心和频窗半径为（4-12）（4-13）4.2.1.3时-频窗为了从几何