16.4角的平分线

安庆九一六学校16.4角的平分线（1）生活中有很多数学问题：小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条自来水管和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与自来水管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看..P自来水天然气探索角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。OB什么叫做角平分线？c不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）折叠法你有哪些方法可以找到角平分线？一、探索作已知角的平分线的方法•度量法•可以用量角器来画一个角的平分线一、探索作已知角的平分线的方法CAOB工人师傅常用如图所示的简易角平分仪（有两对边相等），来画角的平分线.将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线.你能说明它的道理吗?活动2ADBCE探索作已知角的平分线的方法证明：在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE探索作已知角的平分线的方法根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE活动3NOMCENM角平分线的画法：（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．（3）作射线OC，则射线OC即为所要求的∠AOB的角平分线.你也来试一试！ABOMNC(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．探索作已知角的平分线的方法想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分∠AOB.证明：连接CM，CN在△OMC和△ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOBABMNCO探索作已知角的平分线的方法想一想：你会平分一个平角吗？此时它的角平分线和角的一边有什么关系？活动41〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。活动4ABOCD•老师：大家拿出之前折叠的角，再折叠一次使探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.•你能写出你猜想的题设和结论，并能证明你的猜想吗？探究角平分线的性质证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE活动5(3)验证猜想:探究角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等。活动5判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.AOBPEFAOBPEF图2图3AOBPE图1（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.4.实践与应用运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？.P自来水天然气例题讲解例1如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.AFCDBE变题1：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.变题2：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.AFCDBEACDBE1)评价反思a.这节课你有哪些收获，还有什么困惑？b.通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？c.完成课内反馈练习.5.小结与作业2)布置作业必做题：教材第22页第1、2、3题选做题：教材第23页第6题谢谢指导！