第十九章 解直角三角形教案(共15课时)-

解直角三角形第1课时测量教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。教学重点：探索测量距离的几种方法。教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。教学过程：一。复习引入：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二。新课探究：例1.书.P.98试一试.如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1,用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方法吗？解：∵△ABC∽△A1B2C3,∴AC:A1C1=BC:B1C1=500:1∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度。若量得B1C1=a㎝，则BC=500a㎝=5a㎝。故旗杆高(1+5a)m.说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m。（1）说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。（a）（b）（c）ODCBAFEDCBAFEBCDAEDCBA111CBA分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。解：（1）∵△AOB∽△COD,∴ODOBCDAB即4.367.1AB∴AB=3(m).（2）∵同一时刻物高与影长成正比，∴DFCDBEAB即6.018.1AB∴AB=3(m).（3）∵△CEF∽△CAB∴BDFGABEF即96.02.0AB∴AB=3(m).方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。三、引申提高：例3。设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三角对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。解答：测量过程如下：1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。2、测出CF、CH的距离。大楼3、算出KE的长度。4、用标杆长度减去人的身高，即DE的长度。标杆5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比例，∴KBKEABDE。6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB的长度。7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。2．大楼的高度=AB+人高。3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。四．巩固练习：1.如图1，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4m求AB长。(AB=62.8m)(1)(2)2.如图2,为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在KHFEBDCABDOCABCA的一边找到两点B、C，使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC。(在地面上另作Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°,测得A’C’=16.35米，得AC=16.35米).五课时小结：选择适当的方法测量物体的高度或长度等是新时期素质教育的要求，运用所学相似三角形知识设计测量方案时一定要考虑可行性，力求操作简便，计算简洁，同时注意分析环境、天气等要素。六．课堂作业：《创新教育目标手册》P.89课内练习A组B组1—3第2课时勾股定理(1)教学目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2．会应用勾股定理解决实际问题教学重点：探索勾股定理的证明过程教学难点：运用勾股定理解决实际问题教学过程：一。探索勾股定理1.由书本P.99的图探索直角三角形的三边关系：①由图19.2.1得出等腰直角三角形的三边关系②由图19.2.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则222cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方△ABC中，∠C=90°,则222cba(a、b表示两直角边，c表示斜边)变式：222222,acbbca2．介绍勾股定理的历史背景。二．例题分析：例1.Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°（1）已知a=8,b=10,求c.(c=6)（2）已知a=5,c=12,求b(b=13)注意：“∠B为直角”这个条件。例2.如图，△ABC,∠BAC=90°,AD、AE分别为△ABC的高和中线，∠=30°,若AD=33㎝,DE=3㎝,则AE=,BC=,AB=,AC=.三、引申提高：EDCBABA11CBA例3.如图,将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求①梯子上端A到墙的底端B的距离AB（精确到0.01米）②当梯子上端A下滑0.5米时，C左滑多少米？解：①Rt△ABC中，∠ABC=90°,BC=2.16,CA=5.41,AB=96.416.241.52222BCAC（米）③由题意得,A1B=4.96-0.5=4.46,A1C1=5.41,Rt△A1BC1中,BC1=06.346.441.522（米）,∴CC1=BC1-BC=3.06-2.16=0.9（米）.四．巩固练习：1．书本P．102.1.22．《创新教育目标手册》P．91.当堂课内练习五．课时小结：1.勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方2.已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。六．课堂作业：《创新教育目标手册》P.91A组B组1—8第3课时勾股定理(2)教学目标：1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。2．会应用勾股定理解决实际问题教学重点：利用勾股定理解决实际问题教学难点：构造直角三角形求解。教学过程：一．复习引入：1.勾股定理的内容是什么？2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边。二．体验勾股定理的几种探求方法：由下面几种拼图方法，试一试，能否得出222cba的结论。（1）（2）（3）（4）（5）cbacbacbacbacba探究点拔：1.将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出222cba。2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到222cba。3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得222cba。三．应用：例1.如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A点穿过湖到点B有多远？解：Rt△ABC中，AC=100，BC=128，根据勾股定理得:AB961281602222BCAC(米)答：从A点穿过湖到点B有96米。说明：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形。若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理。例2.在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？解：设米米米，则)30(,302010xBCACADxBD.Rt△ABC中，222)30(20)10(xx解之得：.5x∴)(1510米树高x四．引申提高：例3．有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？分析：最短路程为展开图中的5212AB米CBABABA五。课时小结：1.说明勾股定理成立时要有一定的拼图能力。2.构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理建立方程求解。六．课堂作业：《创新教育目标手册》书P.104.习题19.2.1—5第4课时勾股定理（3）教学目标：使学生进一步掌握勾股定理，运用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。教学重点：运用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。教学难点：运用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。教学过程：一、复习和练习：在△ABC中，∠C=90°.1.若a=5,b=12,求c；（c=13）2.若b=7,c=9,求a；（a=24）3.若c=10,a:b=3:4求a,b。（a=6，b=8）二．新课探究：例1.已知Rt△ABC中，斜边长为2，周长为62。求其面积。分析：欲求Rt△的面积，只需求两直角边之积，由已知得直角边之和为6，结合勾股定理又得平方和为4。于是可列方程组求解。解：如图,设Rt△ABC的两直角边为a、,b则6ba①422ba②①2-②得:2ab=2,则2121ab∴S△ABC21说明：在直角三角形中，已知几条边之间的某种关系，常结合勾股定理列方程组求解。在此题中，采用了“设而不求”的技巧。例2.作长为5,3,2的线段。分析：由勾股定理，直角边长为1的等腰Rt△，斜边长等于2；直角边长为2、1的直角三角形的斜边长就是3；类似地也可作出5。cbaCBA32111BBB11CBA作法：1.作直角边长为1（单位长）的等腰Rt△ABC。2.以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的Rt△ABB1。3.顺次这样作下去，最后作到Rt△AB2B3。这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是。、、、5432说明：根据n确定两直角边的长度，构造直角三角形，则斜边就是所求做的线段。三、引申提高：例3．已知，如图△ABC中，AB=AC,D为BC上任一点，试说明：DCBDADAB22分析：欲说明DCBDADAB22，必须构造直角三角形，由于AB=AC，故作BC边上的高，运用勾股定理即可说明。解：过A作AE⊥BC于E。在Rt△ABE中，222BEAEAB。①在Rt△ADE中，222EDAEAD。②①-②得：))((2222EDBEEDBEEDBEADAB。∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC。∴DCBDEDECBDADAB)(22。方法技巧：说明某些线段平方式问题常通过作垂线，构造直角三角形，从而运用勾股定理，结论中有两条线段积的形式时，常运用平方差公式进行因式分解。四。巩固练习：《目标手册》P.93.当堂课内练习.P.93.1—5五。课时小结：1．根据n确定两直角边的长度，构造Rt△，则斜边即为所求线段。2.矩形的折叠问题中，经常会用勾股定理得到一个方程或方程组来求某些未知线段的长。六．课堂作业：《创新教育目标手册》P.93—94课内练习A组B组1—5第5课时锐角三角函数（1）BAEDC教学目标：1.直角三角形可简记为Rt△ABC2.理解Rt△中锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念。教学重点：四种锐角三角函数的定义。教学难点：理解锐角三角函数的定义。教学过程：一．复习提问：1.什么叫Rt△？它的三边有何关系？2.Rt△中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②222cba二．新课探究：1.Rt△ABC中，某个角的对边、邻边的介绍。2.如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3得,333222111kACCBACCBCACB可见，在R