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第二部分空间与代数第四章三角形第19讲解直角三角形高分突破在手中考高分无忧⊙考纲要求⊙1.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.⊙命题趋势⊙2010—2012年广东省中考题型及分值统计1.从近几年广东省命题地区的考试内容来看，本讲内容命题难度较大，是中考命题的热点，解直角三角形的应用是必考内容.2．题型以解答题为主．3.2013年考查重点可能是：（1）解直角三角形的实际应用如计算距离、高度、角度等的解答题.（2）在其它几何题里渗透考查．★中考导航★年份试题类型知识点分值2010填空题、解答题解直角三角形的应用、与其它几何题结合15分2011解答题解直角三角形的应用、与其它几何题结合14分2012解答题解直角三角形的应用7分★课前预习★1.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（）A.B.C.D.h•sinα2.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=54，则AC=____________．3.（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米A5D4.（2012•株洲）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是米．5.（2012•咸宁）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是cm．10210★考点梳理★1．解直角三角形(1)解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.(2)直角三角形的解法直角三角形解法按直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型：①已知一条直角边和一个锐角（如a，)其解法为：②已知斜边和一个锐角（如)其解法为：③已知两直角边（如a，b），其解法为：=．④已知斜边和一直角边（如c，a），其解法为：=.()2．与解直角三角形有关的名词、术语(1)视角：视线与水平线的夹角叫视角．从下向上看，叫做；从上往下看，叫做．(2)方位角：目标方向线与正北方向线时的夹角．(3)坡度、坡角：坡面的铅直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比)，记作坡面与水平面的夹角()，叫做坡角．仰角俯角顺时针考点1.解直角三角形1.如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（）A．30cmB．20cmC．10cmD．5cm思路点拨：因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．★课堂精讲★C2.（2012•上海）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．己知AC=15，cosA=．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．思路点拨：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长；（2）由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可．2.解：（1）∵AC=15，cosA=，∴=，∴AB=25，∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=（或12.5）；（2）AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，则，解得x=，∴sin∠DBE==．考点2.解直角三角形的应用3.（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米思路点拨：延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．A4．（2012广东）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．思路点拨：首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．4.解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，∴BC=∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50即：BD=2AB,∵BD﹣BC=CD=200,∴2AB﹣AB=200解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米．5.（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）思路点拨：（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可．5.解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD，∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°，∴AD=60，CD=，BC=60+≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7（米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．★随堂检测★1.（2011•娄底）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，tanB=，则△ABC的面积是cm2．2.（2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长．122.解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+，答：AB的长是3+．3.（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A．50米B．100米C．米D．米4.（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）D4.解：设OC=x，在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x，在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴OB=OC•tan30°=x，∵AB=OA﹣OB=x﹣x=2，解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米，∴OC=5米．答：C处到树干DO的距离CO为5米．5.（2012•天门）如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁．有一货轮以30海里/时的速度向正北航行，当它航行到A处时，发现B岛在它的北偏东30°方向，当货轮继续向北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向．问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5.解：作BD⊥AC于点D．设BD=x海里，则在Rt△ABD中，tan30°=，∴AD=．在Rt△CBD中，tan45°=，∴CD=x．∴AC=AD﹣CD=．∵AC=30×=15，∴=15，∴x≈21.4．21.4海里＞15海里．答：没有触礁的危险．