数学分析-第四章-课件-微商与微分

第四章微商与微分微商概念来自一个连续量随另一个速度量变化的“瞬时”变化率。§1微商的概念及其计算例1变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为v)()(0tftf0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tftf0tt221tgsso)(0tf)(tf自由落体运动求非均匀棒的密度（一点的线密度0)x均匀棒的密度ml棒的质量棒的长度单位长的质量非均匀：建立坐标系00x0xx给出质量函数mfx取棒的一段0x到0xx这段的质量00mfxxfx这段上的平均密度00fxxfxmxxx越小，就越接近于0x点的线密度0x因而0000limxfxxfxxx例2定义4.1设函数yfx在0x点附近有定义。对于自变量在0x点的任一改变量0xxx，函数在该点的相应改变量为00yfxxfx若极限0000limlimxxfxxfxyxx存在，则称函数fx在0x点可导，并称极限值为fx在0x点的微商或导数，记为0',fx或0'|,xxy或0|xxdydx说明，微商是一种特殊的极限1微商的定义上面两个例子：虽然问题的具体意义不同，但仅从数量方面来看，它们都是利用函数的改变量与自变量的改变量之比（即函数的平均变化速度）的极限来刻画这个函数在一点的变化速度，抽象化的。求2yx在0x它们之比为02yxxx令0x取极限，即得函数2yx在0x的微商000'|lim2xxxyyxx给自变量以改变量x，函数2200yxxx202xxx有对应的改变量例3的微商。求sinyx在0x点的微商。x时，函数有改变量y00sinsinxxx02cossin,22xxx它们之比为0cossin22.2xxxyxx注意到第三章第三节讲到的两个重要的极限之一，就是0sin2lim12xxx因此00limcosxyxx当给自变量以改变量例4LQTROAByx0'fx为曲线yfx上点00,xfxyfx在00,xfx处的000'yfxfxxx法线方程为0001'yfxxxfx处切线（如果存在）的斜率。由此：曲线切线方程为2微商的几何意义①切线:割线的极限位置——切线位置开始割线的极限位置——切线位置①切线:求曲线2yx在对应于02x处的切线方程和法线方程解：22'|2|4xxyx＝，故在对于22x处的切线方程和法线方程分别为44(2)yx，即440xy14(2)4yx，即4180xy例5在上面的定义4.1中，考虑0x和0x便有定义：或写成0xx0xx和左导数0'fx0'fx定义4.1'右导数函数fx在0x点可导fx在0x点的左，右导数存在且相等。显然：！给出了证不可导的有效方法定义4.2`若fx在开区间,ab内每一点都可导，则称函数fx内可导.,ab在开区间fx'fb在,ab内可导。且若',fa都存在，则称fx,ab上可导。在注：或,ab上可导，则对每个,xab都唯一对应数':fx'xfx从而定义了一个新函数'fx，称为0'limhfxhfxfxh设fx,abfx的导函数，简称导数。另外：3.可导与连续的关系定理4.1证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故0x所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:xyoxy在x=0处连续,但不可导.即00limxfxfx000limxxx0lim1xxx左极限不等于右极限，即差商的极限0()(0)limxfxfx所以()||fxx在0x点不可导。0xyyx00limxfxfx000limxxx0lim1xxx事实上不存在。不可导点4.微商的计算原料加工产品基本初等函数的微商公式四则运算复合运算微商法则初等函数的微商（1）常值函数'yc'0c（2）:nyx其中是正整数n1()'nnxnx（3）正弦函数sinyx与余弦函数cosyx(sin)'cosxx(cos)'sinxxlogayx1'(log)'lnayxxa特别1ln'xx（4）对数函数基本初等函数的微商公式微商的四则运算法则由定理4.2可得221tan'seccosxxx221cot'cscsinxxx000()(()())'|'()'()xxiuxvxuxvx00000()(()())'|'()()()'()xxiiuxvxuxvxuxvx0'0000020'()()()'()()(),(()0)()()xxuxvxuxvxuxiiivxvxvx定理4.2反函数微商法则若函数yfx在0x点附近连续且严格单调，又0'0,fx则其反之数xy在点00yfx可导，且001''yfx证明：由()fx在0x附近连续且严格单调，则反函数xy在0y点附近连续且严格单调。因此，若00yy则000xxyy，且当0yy时有0,xx故由复合函数求极限法则得000limyyyyyy000limyyyyfyfy01'fx000limxxxfxfx0001limxfxfxxx。定理4.3（5）指数函数xya：为logaxy的反函数而1''lnln()xxyayaaaxy（6）反三角函数i21arcsin'1yxyx11xiiarccosyx21'1yxiiiarctanyx21'1yxivcotyarcx21'1yx到此：第一步基本上完成（还差一点）核心，最重要：若函数ugx在0x点可导，yfu在00ugx点可导，则复合函数fgx在点可导，且0x0'fgx00''fugx00''fgxgx或000|||xxuuxxdydydudxdudx定理4.4i'''fgxfugx''fgxgxii链式法则：推广到多个。复合函数求导法则（7）幂函数yx的微商0x1''yxx特别：1'2xx211'xx总结：1ln'xx98页微商公式表和运算法则。要求：熟记2sinyx，求'y解：2sinyx可视为sinyu和2ux的复合，故2'sin''cos2yuxux22cosxx例7例82sinyx，求'y='y解2sinyx可视为2sinyux和u=的复合，故2'usin'x2cos2sincossin2uxxxx211yx设，求'y例9解1222111yxx可视为1221yuux和的复合，故3122322122'1'21xyuxuxx设222111xxyxx（x-1），求'y两边取对数得解222lnln(1)ln(1)ln1yxxxx2212ln(1)2ln1ln1,xxxx上式两边对x求导得222'12212(1)121121yxxyxxxxx2212,111xxxx例1022222112'()11(1)11xxxyxxxxx因此设sin0xyxx，求'y解两边取对数lnsinlnyxx再两边对x求导得'sincoslnyxxxyx故sinsin'(cosln).xxyxxxx例11例10和例11采用的方法也称为对数求导法，它简化求导运算。例11也可用链式法则求得。因为sinsinlnxxxyxe，所以sinln'(sinln)'xxyexxsinlnsin(cosln)xxxexxxsinsin(cosln).xxxxxx函数13()(1),(,)fxxx是初等函数，故在定义域内连续，但132311(1)limlim1,1xxxxx故1fxx在点不可导。当1x时有2313'1fxx几何上表示曲线在x=1处的切线平行于y轴。下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。例12设1sin,0,xxfx00xx当0x时，函数fx是可导的：111'sincosxxxfx显然fx在0x连续。由于极限110000sinlimlimlimsinxxxxxfxfxxx不存在，故fx在0x点不可导。我们知道，当0x时，1sinx不断地在1和-1之间摆动。从图形上看就是当Q点沿曲线趋于原点时，割线OQ在直线yx之间摆动。例13注意，并不是割线不断摆动就无切线。例如函数21sin,0,xfxx00xx有0001limlimsin0,xxfxfxxx故112sincos,'0,xfxxx00xx可见fx在0x点可导，事实上在0点割线的斜率1sinxx也是不断摆动的，但它有个极限位置y=0.§2、微分概念及其计算复习1、可导和导数（微商）的概念2、无穷小的比较问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则,2xA0xx面积的增量为xx020xAxx02)(x关于△x的线性主部高阶无穷小0x时为故当x在0x取得增量x时,0x变到一块正方形金属薄片受温度变化的影响,引例14,0xx边长由其一.微分的概念0x称为函数在的微分2Ax一般：函数()yfx,给自变量一个改变量x相应地函数改变量()()yfxxfx是否也可分成类似的两部分()yxx从而有定义：（可微、微分）设()yfx在(,)ab有定义，如果对给定的(,)xab，有()()(),(0)yfxxfxxxx其中A与x无关，则称()fx在x点可微，并称x为函数()fx在点x的微分，记为：dyx或()dfxx上述定义中有两个概念，一个是可微的概念，另一个是微分的概念。注意：dy既与x有关又与有关.定义4.2x从定义可知，微分具有两大特性：(1)微分是自变量的改变量的线性函数容易计算；(2)微分与函数的改变量y之差是比x高阶的无穷小量ydy(1)函数在什么条件下可微？(2)A到底是什么？问题：思路（讨论）：先看在可微的条件下：可推得什么结果？再看：反过来是否成立？（当然希望成立）()yfx在x点可微()fx在x点可导且()fx反之：设()yfx在x点可导。则…从而有…于是若yx，则'1y于是1dydxxx即自变量的微分等于自变量的改变量。从而'()dyfxdx'()dyfxdx微商就是微分之商定理4.5：函数()yfx在点可微的充要条件是：函数()fx在点可导。这时微分中x的系数'()fxx证:“必要性”已知在点可微,则)()(00xfxxfy))((limlim00xxoAxyxxA故)(xoxA在点的可导,且“充分性”已知)(lim00xfxyx