二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式方程与函数是初中数学中的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。本文举例说明，供同学们学习时参考。例1、(江西)已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．解析：因为二次方程220xxm的根为二次函数22yxxm的图象与x轴交点横坐标。根据已知条件22yxxm，可知抛物线的对称轴为直线1x；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为3x，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220xxm的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。例2．（宁夏）二次函数2(0yaxbxcaabc，，，是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：x1120121322523y2141742741142（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．（2）一元二次方程20(0axbxcaabc，，，是常数)的两个根12xx，的取值范围是下列选项中的哪一个．①12130222xx，②12151222xx，③12150222xx，④12131222xx，解析：本题以表格的形式给出二次函数2yaxbxc的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与1x等距离的x对应的函数值相等，所以直线1x是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2）；观察表格发现：当1x时，y随着x的增大而减小，当1x时，y随着x的增大而增大，所以抛物线的开口向下。（2）一元二次方程20(0axbxcaabc，，，是常数)的根即为抛物线2yaxbxc与x轴交点的横坐标，观察表格发现：12与0之间一定有一个x的值，使2yaxbxc＝0；2与52之间一定有一个x的值，使2yaxbxc＝0，所以20axbxc的两根12xx，的取值范围是12150222xx，，故答案为③例3．（内江）已知函数2yaxbxc的图象如图所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根解析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于x的方程220axbxc的根的情况，因为220axbxc可化为22axbxc，即22yaxbxc，所以，方程220axbxc的根即为抛物线与直线y＝－2的交点横坐标，作直线y=－2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标。例4．(贵阳)二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根．（2）写出不等式20axbxc的解集．（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。（1）方程20axbxc的根即抛物线2(0)yaxbxca与x轴交点的横坐标，观察图象得方程20axbxc的两根为11x，23x；（2）不等式20axbxc的解集即抛物线2(0)yaxbxca位于x轴上方的那一段的x的范围，观察图象得不xy3322114112O等式20axbxc的解集为13x；（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为2x，结合图象得对称轴右边y随x的增大而减小，所以2x；（4）方程2axbxck的解为抛物线2(0)yaxbxca与直线yk的交点，所以当2k时，抛物线与直线有两个交点，即方程2axbxck有两个不相等的实数根的k的取值范围是2k。