二次函数与三角形的综合

归类探究分层集训全效学习中考学练测全效学习中考学练测第五讲二次函数综合型问题第1课时二次函数与三角形的综合归类探究分层集训全效学习中考学练测特征二次函数综合型问题类型(1)二次函数与三角形的综合；(2)二次函数与四边形的综合；(3)二次函数与相似三角形的综合；(4)二次函数与圆的综合解题策略充分运用数形结合思想，把“数”与“形”结合，互相渗透，把数量关系与空间形式巧妙结合起来寻找解题思路归类探究分层集训全效学习中考学练测[2017·齐齐哈尔]如图5－1－1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连结BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的表达式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．图5－1－1归类探究分层集训全效学习中考学练测【解析】(1)将点A，B的坐标代入函数表达式列方程组求得b，c的值，再代回到原表达式可以得到结论；(2)利用二次函数表达式中的x＝0可以求得y的值，进而得到点C的坐标；把二次函数表达式配方可以得到顶点D的坐标；(3)首先利用点O，C的坐标及抛物线的对称轴求出△COE的面积；设点P的坐标为(x，y)，结合A，B两点表示出△ABP的面积，最后根据列方程求点P的坐标．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，∴－1－b＋c＝0，－9＋3b＋c＝0，解得b＝2，c＝3，归类探究分层集训全效学习中考学练测∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)∵x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x＋1)＋4＝－(x－1)2＋4，∴点D的坐标为(1，4)；(3)设点P(x，y)，则x＞0，y＞0，∵S△COE＝12×3×1＝32，S△ABP＝12×4y＝2y，S△ABP＝4S△COE，∴2y＝4×32，∴y＝3.∴－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)．∴点P的坐标为(2，3)．归类探究分层集训全效学习中考学练测[2016·温州]如图5－1－2，抛物线y＝x2－mx－3(m＞0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC.(1)用含m的代数式表示BE的长；(3)若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G.①当△DOE与△BGF的面积相等时，求m的值；②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则(2)当m＝3时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由；322m的值是_______．归类探究分层集训全效学习中考学练测解：(1)由抛物线y＝x2－mx－3可知点C坐标为(0，－3)，AC⊥OC，∴点A纵坐标为－3，y＝－3时，－3＝x2－mx－3，解得x＝0或m，∴点A坐标为(m，－3)，∴AC＝m，∴BE＝2AC＝2m；图5－1－2变式跟进答图归类探究分层集训全效学习中考学练测(2)点D落在抛物线上，理由：∵m＝3，∴点A坐标为(3，－3)，∴直线OA的表达式为y＝－3x，∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－3，∴点B坐标为(23，3)，∴点D纵坐标为3，对于函数y＝－3x，当y＝3时，x＝－3，∴点D坐标为(－3，3)．∵对于函数y＝x2－3x－3，x＝－3时，y＝3，∴点D落在抛物线上；归类探究分层集训全效学习中考学练测(3)①如答图，∵∠ACE＝∠CEG＝∠EGA＝90°，∴四边形ECAG是矩形，∴EG＝AC＝BG，∵FG∥OE，∴OF＝FB，∴EO＝2FG，②如答图，∵A(m，－3)，B(2m，2m2－3)，E(0，2m2－3)，∵12DE·EO＝12GB·GF，∴BG＝2DE，∵DE∥AC，∴DEAC＝EOOC＝12，∵点B坐标为(2m，2m2－3)，OC＝2OE，∴3＝2(2m2－3)，∵m＞0，∴m＝32；归类探究分层集训全效学习中考学练测∴直线AE表达式为y＝－2mx＋2m2－3，直线OB表达式为y＝2m2－32mx，由y＝－2mx＋2m2－3，y＝2m2－32mx，解得x＝4m3－6m6m2－3，∴点M横坐标为4m3－6m6m2－3，∵S△AMF＝S△BFG，∴122m2－32＋3·m－4m3－6m6m2－3＝12m·12(2m2－3)，整理得到2m4－9m2＝0，∵m＞0，∴m＝322.归类探究分层集训全效学习中考学练测【点悟】二次函数与几何结合问题涵盖了初中阶段所学的知识和多种数学思想，应特别注意运用数形结合思想沟通几何与代数知识之间的内在联系，运用通过数来解形或通过形来观数的策略．归类探究分层集训全效学习中考学练测[2016·德州]如图5－1－3，已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)．(1)求这个抛物线的表达式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；图5－1－3归类探究分层集训全效学习中考学练测解：(1)∵x2＋4x＋3＝0，∴x1＝－1，x2＝－3，∵m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实根，且|m|＜|n|，∴m＝－1，n＝－3，即A(－1，0)，B(0，－3)．(3)P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离P点2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．∵抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(0，－3)，∴1－b＋c＝0，c＝－3，∴b＝－2，c＝－3，归类探究分层集训全效学习中考学练测∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3；(2)令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点C坐标为(3，0)，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点D坐标为(1，－4)，如答图①，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∵OB＝OC＝3，点D坐标为(1，－4)，∴BE＝DE＝1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠DBE＝45°，∴∠CBD＝90°，∴△BCD是直角三角形；归类探究分层集训全效学习中考学练测例2答图(3)∵点B坐标为(0，－3)，点C坐标为(3，0)，∴直线BC表达式为y＝x－3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，归类探究分层集训全效学习中考学练测∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P(t，t－3)，M(t，t2－2t－3)，过点Q作QF⊥PM，垂足为F，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ＝2，∴QF＝1，如答图②，当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t，∴S＝12PM·QF＝12(－t2＋3t)＝－12t2＋32t，归类探究分层集训全效学习中考学练测【点悟】解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二次函数的表达式，再结合图象，运用几何知识解决问题．如答图③，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM＝t2－2t－3－(t－3)＝t2－3t，∴S＝12PM·QF＝12(t2－3t)＝12t2－32t.综上，S＝－12t2＋32t（0＜t＜3），12t2－32t（t＜0或t＞3）.归类探究分层集训全效学习中考学练测[2017·达州]如图5－1－4①，点A坐标为(2，0)，以OA为边在第一象限内作等边三角形OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连结BC，以BC为边在第一象限内作等边三角形BCD，连结AD交BC于E.(1)①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；(2)当点C运动到使AC2＝AE·AD时，如图②，经过O，B，C三点的抛物线为y1.试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；归类探究分层集训全效学习中考学练测①②图5－1－4(3)在(2)的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y＝3x＋3m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．归类探究分层集训全效学习中考学练测【解析】(1)①由等边三角形AOB，等边三角形CBD得OB＝AB，BC＝BD，∠OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，从而△OBC≌△ABD.②由△OBC≌△ABD可得∠BAD＝∠BOC＝60°，从而可得AD∥OB；(2)由AC2＝AE·AD得△CAE∽△DAC，则∠ACB＝∠ADC＝∠BDA，即AD平分∠ADC，求出AC的长，即可得A，B，C三点的坐标，从而求出抛物线的表达式，然后分情形考虑∠PBE＝90°或∠PEB＝90°，利用互相垂直的直线它们的k互为负倒数，求出直线BP或PE的表达式，然后解方程组可求出P点的坐标；归类探究分层集训全效学习中考学练测(3)利用轴对称求出翻折后的抛物线的表达式，只有当直线与其中一条抛物线相切时，有三个交点，利用一元二次方程根的判别式可求出m的值．解：(1)①△OBC与△ABD全等．理由：∵△AOB，△CBD是等边三角形，∴∠OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，∵OB＝AB，BC＝BD，∴△OBC≌△ABD.②∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠BAD＝∠ABO，∴AD∥OB，即无论点C如何移动，AD始终与OB平行．归类探究分层集训全效学习中考学练测(2)∵AC2＝AE·AD，∴ACAE＝ADAC，∵∠CAE＝∠DAC，∴△CAE∽△DAC，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠BDA＝∠CDA，∵DB＝DC，∴DE垂直平分BC，∴AB＝AC，∴C点的坐标为(4，0)，∵在等边△AOB中，OB＝2，∠BOA＝60°，∴B点的坐标为(1，3)，设抛物线y1的表达式为y1＝ax(x－4)，代入点(1，3)，得3＝－3a，解得a＝－33，归类探究分层集训全效学习中考学练测∵∠OBA＝∠BAO＝60°，AB＝AC，∴∠ABC＝30°，∴∠OBC＝90°.当P点与O点重合时，△PBE是以BE为直角边的直角三角形．∴P1点的坐标为(0，0)．当PE⊥BC时，直线PE过点D，A，∴抛物线y1的表达式为y1＝－33x2＋433x.设直线PE的表达式为y＝kx＋b，代入点A(2，0)，D(4，23)，得2k＋b＝0，4k＋b＝23，解得k＝3，b＝－23，∴直线PE的表达式为y＝3x－23，归类探究分层集训全效学习中考学练测解方程组y＝3x－23，y＝－33x2＋433x，得P2(－2，－43)，P3(3，3)，∴P点的坐标为(0，0)或(－2，－43)或(3，3)．变式跟进答图(3)把抛物线y1＝－33x2＋433x沿x轴翻折，得到抛物线y2＝33x2－433x，如答图，当直线y＝3x＋3m与y＝－33x2归类探究分层集训全效学习中考学练测＋433x相切，即只有一个交点时，直线与M有3个公共点，解方程组y＝－33x2＋433x，y＝3x＋3m，消去y，整理得x2－x＋3m＝0，由1－12m＝0，解得m＝112.当直线y＝3x＋3m与y＝33x2－433x相切，即只有一个交点时，直线与M有3个公共点，解方程组y＝33x2－433x，y＝3x＋3m，归类探究分层集训全效学习中考学练测消去y，整理得x2－7x－3m＝0，由49＋12m＝0，解得m＝－4912.当直线经过(0，0)或(4，0)时，也符合题意，此时m＝0或－4.∴m＝112或－4912或0或－4.归类探究分层集训全效学习中考学练测