二次函数与反比例函数总结提升

数学新课标（HK）九年级上册本章总结提升本章知识框架本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升整合拓展创新►类型之一二次函数的图象及其性质本章总结提升我们要熟练运用配方法将二次函数化为顶点式，从而确定抛物线的顶点坐标、对称轴，并能从开口方向、增减性、最值和抛物线的平移等方面总结二次函数的性质．本章总结提升例1已知抛物线y＝12x2＋x－52.(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴；(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A，B，求线段AB的长．解：(1)y＝12x2＋x－52＝12(x2＋2x＋1)－12－52＝12(x＋1)2－3，∴该抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴是直线x＝－1.(2)设方程12x2＋x－52＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1·x2＝－5，∴|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4＋20＝24，∴AB＝|x1－x2|＝26.本章总结提升►类型之二二次函数与一元二次方程之间的关系(1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．(2)抛物线与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根．本章总结提升例2已知：二次函数y＝－x2＋2x＋3.(1)求抛物线的对称轴和顶点的坐标；(2)在图21－T－1中画出函数草图；(3)根据图象：①写出方程－x2＋2x＋3＝0的根；②写出不等式－x2＋2x＋30的解集．本章总结提升[解析](1)配方后即可确定抛物线顶点坐标及对称轴；(2)确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴的交点坐标即可确定抛物线的图象；(3)方程－x2＋2x＋3＝0的根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标，不等式－x2＋2x＋30的解集就是图象在x轴下方部分自变量的取值范围．本章总结提升解：(1)y＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x＋1－4)＝－(x－1)2＋4.对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)．(2)根据抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，3)，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)可画出函数图象如图21－T－2所示．本章总结提升(3)①图象与x轴交于点(－1，0)，(3，0)，所以方程－x2＋2x＋3＝0的根是x1＝－1，x2＝3.②由图象可知，不等式－x2＋2x＋30的解集是－1＜x＜3.[归纳总结]此类题目要结合图形，特别是不等式的解集问题，要数形结合利用二次函数图象和x轴的位置关系解答．本章总结提升►类型之三二次函数的最优化问题解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式；然后再配方，由题意根据平方的非负性求最值．进一步得原问题的解．有一点同学们一定要注意：顶点的横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．本章总结提升例3[2013·随州]某公司投资700万元购买甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品的生产加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理，设甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)．当35≤x≤50时，y与x之间的函数关系式为y＝20－0.2x；当50≤x≤70时，y与x之间的函数关系如图21－T－3所示．乙种产品的销售单价在25元(含25元)到45元(含45元)之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．本章总结提升(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数关系式；(2)若该公司第一年的年销售利润(年销售利润＝年销售收入－生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利＝两年的年销售利润之和－投资成本)不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．本章总结提升[解析](1)根据图象信息，用待定系数法可得y与x之间的函数关系式．(2)根据等量关系：年销售利润＝年销售收入－生产成本＝(销售单价－成本)×销量，根据W＝甲产品的年销售利润＋乙产品的年销售利润列式，然后化简可得．(3)先根据题意列出不等式，解出不等式对应的方程，按要求得m的取值范围．本章总结提升解：(1)由图象可知，当50≤x≤70时，y是x的一次函数，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.把(50，10)，(70，8)代入，得10＝50k＋b，8＝70k＋b，解得k＝－0.1，b＝15，∴当50≤x≤70时，y与x之间的函数关系式为y＝－0.1x＋15.本章总结提升(2)①依题意知25≤90－x≤45，即45≤x≤65.当45≤x≤50时，W＝(x－30)(20－0.2x)＋10(90－x－20)＝－0.2x2＋16x＋100＝－0.2(x－40)2＋420.由函数的性质知，当x＝45时，W取得最大值为415.此时90－x＝45.当50≤x≤65时，W＝(x－30)(－0.1x＋15)＋10(90－x－20)＝－0.1x2＋8x＋250＝－0.1(x－40)2＋410.由函数的性质知，当x＝50时，W取得最大值为400.此时90－x＝40.综上所述，当x＝45时，即甲、乙两种产品的销售单价都定在45元时，可使第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元．本章总结提升(3)30≤m≤40.(根据题意，令W＝－0.1x2＋8x＋250＋415－700＝85，整理，得x2－80x＋1200＝0，解得x1＝20，x2＝60.∵50≤x≤65，根据函数的性质分析，可得50≤x≤60，即50≤90－m≤60.故30≤m≤40.)[归纳总结]①W＝甲产品的年销售利润＋乙产品的年销售利润；②年销售利润＝(销售单价－每件产品的生产成本)×销量．本章总结提升►类型之四反比例函数的比例系数k的应用反比例函数其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S＝12k.本章总结提升例4如图21－T－4，直线y＝mx与双曲线y＝kx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM.若S△ABM＝2，则k的值是()A．2B．m－2C．mD．4[解析]因为双曲线是中心对称图形，所以OA＝OB，所以△ABM的面积＝2个△AOM的面积＝k的值．A本章总结提升[归纳总结]要求反比例函数的关系式，根据k的几何意义，利用所给的三角形的面积确定k的值．本题的突破口是熟悉一次函数图象与反比例函数图象都关于原点对称，知道OM是△ABM的中线，得出△AOM的面积是关键．23、（16分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒（t0）。（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是________（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形?若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。