1997考研数学三真题和详解

11997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设()(ln)fxyfxe,其中f可微,则dy___________.(2)若12201()1()1fxxfxdxx,则10()fxdx___________.(3)差分方程12tttyyt的通解为___________.(4)若二次型2221231231223(,,)22fxxxxxxxxtxx是正定的,则t的取值范围是___________.(5)设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布2(0,3)N,而19,,XX和19,,YY分别是来自总体XY和的简单随机样本,则统计量192219XXUYY服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设561cos20()sin,()56xxxfxtdtgx,则当0x时,()fx是()gx的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小(2)若()()()fxfxx,在(,0)内()0fx,且()0fx,则在(0,)内有()(A)()0fx,()0fx(B)()0fx,()0fx(C)()0fx,()0fx(D)()0fx,()0fx(3)设向量组1,2,3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()(A)12,23,31(B)12,23,1232(C)122,2323,313(D)123,1232322,1233552(4)设,AB为同阶可逆矩阵,则()(A)ABBA(B)存在可逆矩阵P,使1PAPB(C)存在可逆矩阵C,使TCACB(D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQB(5)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：111,2PXPY1PX112PY,则下列各式中成立的是()(A)12PXY(B)1PXY(C)104PXY(D)114PXY三、(本题满分6分)在经济学中,称函数1()[(1)]xxxQxAKL为固定替代弹性生产函数,而称函数1QAKL为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).试证明：但0x时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有0lim()xQxQ.四、(本题满分5分)设(,,)ufxyz有连续偏导数,()yyx和()zzx分别由方程0xyey和0xexz所确定,求dudx.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px(万元/吨),x为销售量(单位：吨),商品的成本函数31Cx(万元).(1)若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2)t为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数()fx在[0,)上连续、单调不减且(0)0f,试证函数301(),0,()0,0,xntftdtxFxxx若若在[0,)上连续且单调不减(其中0n).七、(本题满分6分)从点1(1,0)P作x轴的垂线,交抛物线2yx于点1(1,1)Q；再从1Q作这条抛物线的切线与x轴交于2P,然后又从2P作x轴的垂线,交抛物线于点2Q,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;nnPQPQPQ.(1)求nOP；(2)求级数1122nnQPQPQP的和.其中(1)nn为自然数,而12MM表示点1M与2M之间的距离.八、(本题满分6分)设函数ft在[0,)上连续,且满足方程222242241()()2txytftefxydxdy,求()ft.九、(本题满分6分)设A为n阶非奇异矩阵,为n维列向量,b为常数.记分块矩阵0,TTEAPQAAb，其中A是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是1TAb.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是412(1,1,1),(1,2,1)TT.(1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.十一、(本题满分7分)假设随机变量X的绝对值不大于1；11{1},{1}84PXPX；在事件{11}X出现的条件下,X在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X的分布函数(){}FxPXx.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早晨八点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度()ft、数学期望和方差.51997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】()1[lnln]fxefxfxfxdxx【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由()(ln)fxyfxe可知()()()1lnln1[lnln].fxfxfxdyfxedxfxefxdxxefxfxfxdxx(2)【答案】4【分析】本题中10()fxdx是个常数,只要定出这个数问题就解决了.【解析】令10()fxdxA,则221()11fxAxx,两边从0到1作定积分得11220011dxAAxdxx10arctan444xAA,解得4A.【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分1201xdx表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.(3)【答案】(2)2ttyCt【解析】对应的齐次差分方程是10ttyy,显然有不恒等于零的特解1ty.因方程的右端函数()2tftt,可设非齐次差分方程的特解有形式()2tyAtB,代入方程得(2)22,0,1,2,.ttAtABtt由于20t,于是2,0,1,2,.AtABtt可确定1,2AB,即非齐次差分方程有一个特解是(2)2tyt.从而,差分方程的通解是(2)2ttyCt.(4)【答案】22t6【解析】二次型123(,,)fxxx对应的矩阵为210112012tAt.因为f正定A的顺序主子式全大于零.又2123211211112,,At,故f正定21102t,即22t.(5)【答案】t分布,参数为9【解析】由19,,XX是来自总体X的简单随机样本,故19,,XX独立,且都服从正态分布2(0,3)N.类似有19,,YY相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N.又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即219~(,)XXXN.其中19()()EXEXX,219()()DXDXX.由期望的性质,19129()()0EXEXXEXEXEX；由独立随机变量方差的性质,21919()()81DXDXXDXDX,故2~(0,9)XN.因219,,~(0,3)YYN,故0~(0,1),(1,2,,9)3iYNi,所以,2921~(9)3iiYY.由t分布的定义,现已有2~(0,9)XN,将其标准化得0~(0,1)9XN,故09~(9)9XtY.化简有~(9)9XtY,即191922221919~(9)19()9XXXXtYYYY.7【相关知识点】1.数学期望的性质：()()()EaXbYcaEXbEYc,其中,,abc为常数.2.方差的性质：X与Y相互独立时,22()()()DaXbYcaDXbDY,其中,,abc为常数.3.2分布的定义：若1,,nZZ相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N,则22~(1)iZ,221~()niiZn.4.若2~(,)ZNu,则~(0,1)ZuN.5.t分布的定义：若~(0,1)XN,2~()Yn,,XY独立,则~()XTtnYn.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】只要求出极限0()lim()xfxgx就能判断出正确的选项.【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得1cos2205640005244000sin()(sin)sin(1cos)limlimlim()(1)5611(1cos)4limlimlim0,1xxxxxxxtdtfxxxxxgxxxxxxxxx故应选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttFtfxdx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()Fttfttft.2.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限()lim()xlx,(1)若0,l称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l称(),()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；8(3)若0,l称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法1：由()()fxfx(,)知,()fx的图形关于y轴对称.由在(,0)内,0fx且()0fx知,()fx的图形在(,0)内单调上升且是凸的；由对称性知,在(0,)内,()fx的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法2：由()()fxfx可知()(),()()fxfxfxfx.当(0,)x时,(,0)x,此时由题设知0fx,()0fx,则()0,()0,(0,)fxfxx,故应选(C).方法3：排除法.取2()fxx,易验证()fx符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法4：由题设可知()fx是一个二阶可导的偶函数,则()fx为奇函数,()fx为偶函数,又在(,0)内()0,()0fxfx,则在(0,)内()0,()0fxfx,故应选(C).(3)【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,,)(,,)C技巧相结合.【解析】对于(A),1223310,即存在一组不全为零的数1,-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知122331,,线性相关,排除(A)；对于(B),122312320