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板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标](时间：40分钟)1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF→－DB→等于()A．FD→B．FC→C．FE→D．BE→解析由题图，知DB→＝AD→，则AF→－DB→＝AF→－AD→＝DF→.由三角形中位线定理，知DF→＝BE→.故选D.2．[2017·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线，且AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb，则点A，B，C三点共线应满足()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析若A，B，C三点共线，则AB→＝kAC→，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k,1＝μk，故λμ＝1.3．已知A、B、C三点不共线，且点O满足OA→＋OB→＋OC→＝0，则下列结论正确的是()A．OA→＝13AB→＋23BC→B．OA→＝23AB→＋13BC→C．OA→＝13AB→－23BC→D．OA→＝－23AB→－13BC→解析∵OA→＋OB→＋OC→＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA→＝－23×12(AB→＋AC→)＝－13(AB→＋AC→)＝－13(AB→＋AB→＋BC→)＝－13(2AB→＋BC→)＝－23AB→－13BC→.4．[2017·安徽六校联考]在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AC→＝b，DE→＝2EC→，则BE→＝()A．b－13aB．b－23aC．b－43aD．b＋13a解析因为BE→＝AE→－AB→＝AD→＋DE→－AB→，所以BE→＝BC→＋23AB→－AB→＝AC→－AB→＋23AB→－AB→＝b－43a，故选C.5．如图，在△ABC中，|BA→|＝|BC→|，延长CB到D，使AC→⊥AD→，若AD→＝λAB→＋μAC→，则λ－μ的值是()A．1B．2C．3D．4解析由题意可知，B是DC的中点，故AB→＝12(AC→＋AD→)，即AD→＝2AB→－AC→，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.6．在△ABC中，D为边AB上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.23解析因为AD→＝2DB→，所以AD→＝23AB→＝23(CB→－CA→)．在△ACD中，因为CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝________.2解析由|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|可知，AB→⊥AC→，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM→|＝12|BC→|＝2.8．[2017·泉州四校联考]设e1，e2是不共线的向量，若AB→＝e1－λe2，CB→＝2e1＋e2，CD→＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________．2解析∵CB→＝2e1＋e2，CD→＝3e1－e2，∴BD→＝CD→－CB→＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则AB→与BD→共线，存在μ∈R使得AB→＝μBD→，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共线的向量，得1＝μ，－λ＝－2μ，解得λ＝2.9．[2017·合肥模拟]已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，求实数λ的值．解由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k0，所以λ0,故λ＝－12.10．已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，求mn的值．解如图所示，因为OB⊥OA，不妨设|OC→|＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，所以四边形ODCE是矩形，OC→＝OD→＋DC→＝OD→＋OE→.因为|OC→|＝2，∠COD＝30°，所以|DC→|＝1，|OD→|＝3.又因为|OB→|＝3，|OA→|＝1，所以OD→＝3OA→，OE→＝33OB→，OC→＝3OA→＋33OB→，此时m＝3，n＝33，所以mn＝333＝3.[B级知能提升](时间：20分钟)11．如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A．AC→＝AB→＋AD→B．BD→＝AD→－AB→C．AO→＝12AB→＋12AD→D．AE→＝53AB→＋AD→解析由向量的加法和减法，知道A、B正确；由中点公式知道C正确，而△DNE∽△BNA，所以DEBA＝DNNB＝13，所以AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋13AB→，故D错误．12．[2014·福建高考]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.故选D.13.如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．6解析以OC为对角线，OA→，OB→的方向为边的方向作平行四边形ODCE(图略)．由已知，得∠COD＝30°，∠COE＝∠OCD＝90°.在Rt△OCD中，|OC→|＝23，|OD→|＝|OC→|cos30°＝4.在Rt△OCE中，|OE→|＝|OC→|tan30°＝2.OD→＝4OA→，OE→＝2OB→.因为OC→＝OD→＋OE→＝4OA→＋2OB→，所以λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.14．设点O在△ABC内部，且有4OA→＋OB→＋OC→＝0，求△ABC与△OBC的面积之比．解取BC的中点D，连接OD，则OB→＋OC→＝2OD→，∵4OA→＋OB→＋OC→＝0，∴4OA→＝－(OB→＋OC→)＝－2OD→，∴OA→＝－12OD→.∴O、A、D三点共线，且|OD→|＝2|OA→|，∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2.