2018版高考数学一轮总复习平面向量数系的扩充与复数的引入4.2平面向量的基本定理及坐标表示模拟演练

板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2016·衡水模拟]已知点A(－1,1)，B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB→∥a，则实数y的值为()A．5B．6C．7D．8解析AB→＝(3，y－1)，a＝(1,2)，AB→∥a，则2×3＝1×(y－1)，解得y＝7，故选C.2．[2017·贵阳监测]已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若ma－nb与2a＋b共线(其中m，n∈R且n≠0)，则mn＝()A．－2B．2C．－12D．12解析因为ma－nb＝(m＋2n,2m－3n)，2a＋b＝(0,7)，ma－nb与2a＋b共线，所以m＋2n＝0，即mn＝－2，故选A.3．已知在▱ABCD中，AD→＝(2,8)，AB→＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则AM→＝()A．－12，－6B．－12，6C．12，－6D．12，6解析因为在▱ABCD中，有AC→＝AB→＋AD→，AM→＝12AC→，所以AM→＝12(AB→＋AD→)＝12×(－1,12)＝－12，6，故选B.4．[2017·广西模拟]若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝()A．－12a＋32bB．12a－32bC．32a－12bD．－32a＋12b解析设c＝λ1a＋λ2b，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c＝12a－32b.5．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(22，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则函数f(x)＝3x＋|λ|x＋1(x－1)的最小值为()A．10B．9C．6D．3解析∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λ|＝|b||a|＝31＝3.f(x)＝3x＋3x＋1＝3(x＋1)＋3x＋1－3≥23x＋1·3x＋1－3＝6－3＝3，当且仅当3(x＋1)＝3x＋1，即x＝0时等号成立，∴函数f(x)的最小值为3，故选D.6．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．－54解析AB→＝(a－1,3)，AC→＝(－3,4)，据题意知AB→∥AC→，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－54.7．已知点A(7,1)，B(1,4)，若直线y＝ax与线段AB交于点C，且AC→＝2CB→，则实数a＝________.1解析设C(x0，ax0)，则AC→＝(x0－7，ax0－1)，CB→＝(1－x0,4－ax0)．因为AC→＝2CB→，所以x0－7＝21－x0，ax0－1＝24－ax0，解得x0＝3，a＝1.8．[2017·大同模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点且∠AOC＝π4，|OC|＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ＝________.22解析因为|OC|＝2，∠AOC＝π4，所以C(2，2)，又OC→＝λOA→＋μOB→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a0，b0.(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．解(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以OA→＝BC→，即(a,0)＝(2,2－b)，a＝2，2－b＝0，解得a＝2，b＝2.故a＝2，b＝2.(2)因为AB→＝(－a，b)，BC→＝(2,2－b)，由A，B，C三点共线，得AB→∥BC→，所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，因为a0，b0，所以2(a＋b)＝ab≤a＋b22，即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0.因为a0，b0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8.当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．10．[2017·南宁模拟]如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个三等分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，得OB→＋OC→＝2OA→，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)由题意知，EC→∥DC→，故设EC→＝xDC→.因为EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，所以(2－λ)a－b＝x2a－53b.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得2－λ＝2x，－1＝－53x，解得x＝35，λ＝45，故λ＝45.[B级知能提升](时间：20分钟)11．已知O为坐标原点，且点A(1，3)，则与OA→同向的单位向量的坐标为()A．12，32B．－12，32C．12，－32D．－12，－32解析与OA→同向的单位向量a＝OA→|OA→|，又|OA→|＝1＋32＝2，故a＝12(1，3)＝12，32，故选A.12．[2017·安徽模拟]在平面直角坐标系中，O(0,0)，P(6,8)，将向量OP→按逆时针旋转3π4后，得向量OQ→，则点Q的坐标是()A．(－72，－2)B．(－72，2)C．(－46，－2)D．(－46，2)解析解法一：设OP→＝(10cosθ，10sinθ)，其中cosθ＝35，sinθ＝45，则OQ→＝10cosθ＋3π4，10sinθ＋3π4＝(－72，－2)．解法二：将向量OP→＝(6,8)按逆时针旋转3π2后得OM→＝(8，－6)，则OQ→＝－12(OP→＋OM→)＝(－72，－2)．13．[2017·枣庄模拟]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且满足OC→＝23OA→＋13OB→，则|AC→||AB→|＝________.13解析由已知得，3OC→＝2OA→＋OB→，即OC→－OB→＝2(OA→－OC→)，即BC→＝2CA→，如图所示，故C为BA的靠近A点的三等分点，因而|AC→||AB→|＝13.14．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若AE→＝mAB→＋AD→，求实数m的值．解由N是OD的中点，得AN→＝12AD→＋12AO→＝12AD→＋14(AD→＋AB→)＝34AD→＋14AB→，又因为A，N，E三点共线，故AE→＝λAN→，即mAB→＋AD→＝λ34AD→＋14AB→，所以m＝14λ，1＝34λ，解得m＝13，λ＝43，故实数m＝13.