2007年上海新知杯初中数学竞赛试题解析

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2007年上海市“新知杯”初中数学竞赛解:∵﹣1<2x﹣1<1,∴,解得:0<x<1,∴当x=1时,原式最小,∴﹣1的取值范围是:﹣1>1.故答案为:大于1.一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)1、已知﹣1<2x﹣1<1,则2𝑥﹣1的取值范围为_________.考点:函数最值问题;解一元一次不等式组.分析:根据﹣1<2x﹣1<1,可以得出x的取值范围,进而求出﹣1的取值范围即可.一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)2、在面积为1的△ABC中,P为边BC的中点,点Q在边AC上,且AQ=2QC.连接AP、BQ交于点R,则△ABR的面积是_________.考点:面积及等积变换.分析:连接PQ,利用已知条件条件分别求出△ABP的面积,△BQC的面积,△ABQ的面积,△BQC的面积,以及△ABR和△BRP的面积和为△ABP面积的这一关系,即可求出△ABR的面积,在解题时时刻注意同底等高的两三角形面积相等.解:如图,连接PQ,∵P为BC中点,∴S△ABP=S△APC=×S△ABC=×1=,∴同理由题可知△BQC面积为,△ABQ面积,∴S△BPQ=S△BQC=,∵△ABQ与△BPQ为共底三角形,∵面积比等于高的比=4:1,又∵△ABR和△BRP分别与△ABQ和△BPQ同高,且共用底边BR,∴△ABR和△BRP的面积比为4:1∵S△ABR+S△BRP=S△ABP,∴S△ABR=×=,故答案为:.本题考查了求三角形的面积,对于此类题目最常见的是利用三角形的面积公式,也可直接求解也可分割作和或作差;还可以转化为等底等高的两三角形或同底等高的两三角形面积相等.一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)3、在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边顺次为a、b、c,∠C=90°.若关于x的方程c(x2+1)﹣2√2bx﹣a(x2﹣1)=0的两根平方和为10,则𝑏𝑎的值为_________.考点:三角形边角关系;根与系数的关系.分析:将原方程整理为一元二次方程的一般形式,设方程两根为x1,x2,再根据两根平方和为10,列出等式并变形,将两根关系整体代入即可.解:原方程整理为(c﹣a)x2﹣bx+(c+a)=0,设x1,x2是方程的两个根,则x12+x22=10,即(x1+x2)2﹣2x1x2=10,把方程根公式代入,得()2﹣2×=10,即4b2﹣(c2﹣a2)=5(c﹣a)2,由勾股定理得:c2﹣a2=b2,代入以上方程整理后有3b2=5(c﹣a)2.∵c是斜边,∴c>a,两边开平方,得b+a=c,两边同时平方得,3b2+5a2+2ab=5c2,再次将勾股定理代入得,3b2+5a2+2ab=5a2+5b2,2b2=2ab,∴=.故答案为:.本题考查了三角形的边角关系,根与系数关系,勾股定理的运用.关键是根据题意得出x12+x22=10,将等式变形,将根与系数关系代入,结合勾股定理求解.一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)4、数x1,x2,…,x100满足如下条件:对于k=1,2,…,100,xk比其余99个数的和小k,则x25的值为_________.考点:整数问题的综合运用.分析:根据已知对于k=1,2,…,100,xk比其余99个数的和小k,得出x2+…+x100=x1+1,x1+x3+…+x100=x2+2…进而得出x1+x2+…+x100的值,即可求出答案.解:∵数x1,x2,…,x100满足如下条件:对于k=1,2,…,100,xk比其余99个数的和小k,∴x2+…+x100=x1+1,x1+x3+…+x100=x2+2,…x1+x2+…+x99=x100+100将以上所有式子相加即可,∴99(x1+x2+…+x100)=(x1+x2+…+x100)+1+2+…+100,∴98(x1+x2+…+x100)=1+2+…+100,∴98(x1+x2+…+x100)=5050,∴x1+x2+…+x100=,∴x1+x2+…+x100=2x25+25,∴2x25+25=,∴x25=,故答案为:.此题主要考查了整数的综合应用,根据已知得出x1+x2+…+x100=进而得出是解题关键.一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)5、已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22的值为_________.考点:对称式和轮换对称式.分析:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.首先将第②、③组合成一个方程组,变形把x1、x2表示出来,在讲将x1、x2的值代入①,通过化简就可以求出结论.解:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.由②,得④,把④代入③,得⑤把⑤代入③,得⑥把⑤、⑥代入①,得+=b∴,∴(a3+c2)(y12+ay22)=b(y12+ay22)2∴y12+ay22=.故答案为:本题是一道代数式的转化问题,考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用.一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)6、如图,设P是凸四边形ABCD内的一点,过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线,垂足分别为E、F、G、H.已知AH=3,HD=4,DG=1,GC=5,CF=6,FB=4,且BE﹣AE=1.则四边形ABCD的周长为_________.考点:勾股定理.分析:根据勾股定理分别求出AP2、BP2、CP2、DP2,再把四式后一等号两边分别相加,并代入已知数值,最后进行化简,即可得出答案.解:由勾股定理可得:AP2=AH2+PH2=AE2+PE2BP2=BE2+PE2=BF2+PF2CP2=CF2+PF2=CG2+PG2DP2=DG2+PG2=DH2+PH2以上四式后一等号两边分别相加,并代入已知数值可得:9+BE2+36+1=AE2+16+25+16化简得:BE2﹣AE2=11,即(BE+AE)(BE﹣AE)=11,又已知:BE﹣AE=1,解得:BE=6,AE=5,故周长为34一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)7、如图,△ABC的面积为1,点D、G、E和F分别在边AB、AC、BC上,BD<DA,DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB.则梯形DEFG面积的最大可能值为_________.考点:面积及等积变换.分析:首先设𝐴𝐷𝐴𝐵=x,可得𝐵𝐷𝐴𝐵=1﹣x,由DG∥BC,根据平行线分线段成比例定理,可得𝐶𝐺𝐴𝐶=𝐵𝐷𝐴𝐵=1﹣x,然后由DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB,证得△ADG∽△ABC,△BDE∽△BAC,△CFG∽△CBA,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△ADG,△BDE,△CGF的面积,则可求得S梯形DEFG=1﹣x2﹣2(1﹣x)2,根据二次函数的性质,即可求得梯形DEFG面积的最大可能值.解:设=x,则=1﹣x,∵DG∥BC,∴=1﹣x,∵DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB,∴△ADG∽△ABC,△BDE∽△BAC,△CFG∽△CBA,∴=x2,=(1﹣x)2,=(1﹣x)2,∴S梯形DEFG=1﹣x2﹣2(1﹣x)2=﹣3x2+4x﹣1=﹣3(x﹣)2+,∴当x=时,即=,此时BD<DA,梯形DEFG面积的最大值为.故答案为:.此题考查了相似三角形的判定与性质,二次函数的性质以及平行线分线段成比例定理.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是利用相似三角形的性质求得二次函数,注意数形结合思想的应用.一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)8、不超过1000的正整数x,使得x和x+1两者的数字和都是奇数,则满足条件的正整数x有_________个.考点:奇数与偶数.分析:满足条件的一位数只有9,满足条件的两位数,要使x的数字之和为奇数,则两位数必满足一奇一偶,再由x+1的数字和也为奇数,那么可得十位数字为偶数,个位数字为奇数,且个位一定为9,三位数则需要前两位的和为偶数,尾数为9,从而可得出符合条件的正整数.解:①满足条件的一位数只有9;②对于两位数,要使x和x+1的数字之和都为奇数,则十位数字为偶数,个位数字为9,故满足条件的两位数有:29,49,69,89;③对于三位数,要使x和x+1的数字之和都为奇数,则需要前两位的和为偶数,尾数为9:故满足条件的数有:119,139,159,179,209,229,249,269,289…共4×5+5×4=40个.④999和1000综上可得满足条件的数有:1+4+40+1=46个一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)9、已知k为不超过50的正整数,使得对任意正整数n,2×36n+k×23n+1﹣1都能被7整除,则这样的正整数k有_________个.考点:数的整除性.分析:首先把2×36n+k×23n+1﹣1整理成2×272n+2k×8n﹣1=2×(﹣1)2n+2k﹣1=2k+1,然后根据原式能被7整除可得2k+1=7m(m是奇数),于是求出k的个数.解:2×36n+k×23n+1﹣1=2×272n+2k×8n﹣1=2×(28﹣1)2n+2k×(7+1)2n=2×(﹣1)2n+2k﹣1=2k+1(mod7),但2×36n+k×23n+1﹣1=0(mod7),2k+1=0(mod7),即2k+1=7m(m为奇数),因为1≤k≤50,所以3≤7m≤101,故m=1、3、…13,相应的k=3、10、…、45共7个.故答案为7一、填空题(第1--5小题,每题8分,第6--10小题,每题10分,共90分)10、使得𝑝(𝑝+1)+22是完全平方数的所有质数p为_________.考点:完全平方数.分析:设𝑝(𝑝+1)+22=a2,故可得所以p(p+1)=2a2﹣2=2(a+1)(a﹣1),又知p为质数,所以①p=a﹣1或者②p=a+1或者③p=2,分别讨论p=a﹣1时,p=a+1时和p=2,满足条件的质数p.解:设=a2,所以p(p+1)=2a2﹣2=2(a+1)(a﹣1),因为p为质数,所以①p=a﹣1或者②p=a+1或者③p=2,①当p=a﹣1时,设a﹣1=kp,(k为≥1的正整数)所以a=kp+1,所以p(p+1)=2kp(kp+2),所以p+1=2k(kp+2),所以(2k2﹣1)p=1﹣4k,因为(2k2﹣1)>0,所以(2k2﹣1)p,又因为1﹣4k<0,所以(2k2﹣1)p=1﹣4k不可能成立.②当p=a+1时,设a+1=kp,(k为≥1的正整数)所以a=kp﹣1.所以p(p+1)=2kp(kp﹣2),所以p+1=2k(kp﹣2),所以(2k2﹣1)p=1+4k,所以2k2﹣1<1+4k.因为当k≥3时,2k2﹣1≥6k﹣1=4k+1+2(k﹣1)>1+4k所以k=1或者2,当k=1时,(2k2﹣1)p=1+4k≥p=5,当k=2时,(2k2﹣1)p=1+4k≥7p=9,所以不存在质数p.③当p=2时,因为p是质数.所以p=2,综上所述,p=2或者p=5,验算:当p=2时,=4=22当p=5时,=16=42.故答案为2或5.二、解答题(共3小题,共60分)11、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=x,点F在边AB上,点G、H在边BC上,四边形EFGH是一个边长为y的正方形,且AE=AC.(1)求y关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,y取得最大值?并求出y的最大值.考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形的性质;正方形的性质分析:延长FE,交AC于D,显然DF∥BC,则Rt△ADF∽Rt△ACB,利用AE=AC=x,求得DE,于是可得方程,然后解方程即可解:(1)如图,延长FE,交A

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