2.2周期信号与离散频谱解析

2013年9月第1/46页2.2周期信号与离散频谱2.2.1周期信号的傅里叶级数三角函数展开2.2.2周期函数的奇偶特性2.2.3周期信号的傅里叶级数复指数函数展开2.2.4傅里叶级数的复指数与三角函数展开的关系2.2.5周期信号的强度表述返回2013年9月第2/46页在有限区间上，任何周期信号，只要满足狄里赫利(Dirichlet)条件，都可以展开为傅里叶级数的三角函数展开式：1000sincosnnntnbtnaatx周期0T圆频率02/2/0000cos2TTntdtntxTa余弦分量的幅值2/2/0000sin2TTntdtntxTb正弦分量的幅值dttxTaTT2/2/00001式中：常值分量3,2,1n2.2.1周期信号的傅里叶级数三角函数展开2013年9月第3/46页在一周期内，函数如果满足：2,2TT狄里赫利(Dirichet)条件:连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点。我们称这样的信号满足狄里赫利(Dirichet)条件。只有满足狄里赫利(Dirichet)条件的信号才可以应用上述傅里叶级数展开式。一般的周期信号均满足上述条件，较为典型的不满足狄氏条件的信号我们还将以例题的形式进行讲解。(不要求自己去证明)P172013年9月第4/46页前面所得到的傅里叶级数展开式:可以写成另外的形式：tnbabtnbaabaatxnnnnnnnnn0220221220sincos1000sinsincoscosnnnntntnAatxnb22nnnbaAnannnntnAatx010cos其中：nnnabarctan这是傅里叶级数三角函数展开式的另外一种写法，与前述公式完全相同。22nnnbaA1000sincosnnntnbtnaatx与教材的上公式写法上不同，但实质上是一样的2013年9月第5/46页)sincos(2)(0010tnbtnaatxnnn前面所得到的傅里叶级数展开式可以写成另外的形式。nb22nnnbaAnan)sin()(010nnntnAatx其中：nnnbaarctan22nnnbaAtnbabtnbaabaatxnnnnnnnnn0220221220sincos1000sincoscossinnnnntntnAatx这是另外一种写法，思想与教材相一致。将之称为第二种写法吧。2013年9月第6/46页……0tx(t)20T20T0T0TAA例:方波信号的频谱描述在时域中该周期方波的表达式为:0220)()()(000tTATtAtxnTtxtx解由图可见，这是一个周期信号，满足狄氏条件（不证）可以应用傅里叶级数展开。只需应用前面讲过的公式计算各系数即可。P20例2.3与之类似2013年9月第7/46页……0tx(t)20T20T0T0TAA2/2/0000)(1TTdttxTa2/2/0000cos)(2TTndttntxTa,6,4,20,5,3,142sin42nnnAnnA2/0002/2/00000sin4sin)(2TTTndttnATdttntxTb002T002013年9月第8/46页,6,4,20,5,3,142sin4nnnAnnAbn)sincos()(0010tnbtnaatxnnn00naa将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。1010sin14sin4)(nntnnAtnnAtxttttA00007sin715sin513sin31sin42n5,3,1422nnAbaAnnn002T与教材相一致的写法2013年9月第9/46页,6,4,20,5,3,142sin4nnnAnnAbn)sincos()(0010tnbtnaatxnnn00naa将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。1010sin14sin4)(nntnnAtnnAtxttttA00007sin715sin513sin31sin40n5,3,1422nnAbaAnnn002T{第二种写法（正弦）}2013年9月第10/46页在工程中为了更加形象地描述信号，常采用绘图的方式。0nn0nAn幅频谱相频谱①只包括基波及各奇次谐波，偶次谐波为0；②谐波的幅值以的规律衰减。n1由表达式可以看出，不会出现负值。22nnnbaAnA4A4A34A50A()03050幅值谱nAAn4相位谱003050n()/20n2013年9月第11/46页x(t)0tT0ttttAtx00007sin715sin513sin31sin4)(n=1A4n=334An=554A2013年9月第12/46页%%%周期方波的分解clearall;closeall;tic;A=5;f0=1;omiga_0=2*pi*f0;t=0:0.01:2;figure;S=0;%N=10001;%这个变量可以修改N=17000fori=1:2:Npart=4.*A/pi./i*sin(i.*omiga_0*t);h1=plot(t,part);%,'[0.1.*i,0.1.*i]','b');set(h1,'linewidth',2);holdon;S=S+part;i=i+1;endholdon;h2=plot(t,S,'r');set(gca,'fontsize',16,'fontweight','bold')set(h2,'LineWidth',5);gridontoc;MATLAB演示程序：(周期方波分解)2013年9月第13/46页周期方波信号的时、频域描述4A4A34A50A()03050幅值谱nAAn4相位谱003050()/20n2013年9月第14/46页例:画出教材式2-3所示信号的三角频谱图。+=632cos101ttx322cos5632cos103tttx322cos52ttx2013年9月第15/46页x1(t)=10sin(2·3·t+/6)x2(t)=5sin(2·2·t+/3)x3(t)=10sin(2·3·t+/6)+5sin(2·2·t+/3)+=00.511.522.53-10-50510(a)mm00.511.522.53-505(b)mm00.511.522.53-10010(c)mmttt00.511.522.53-10-50510mm00.511.522.53-505(b)mmtt00.511.522.53-10-50510(a)mmt答案：nA0n0106(a)3232A()-()-nA05n03(b)2222A()-()-+nA052210n032326322(c)A()-()-=2013年9月第16/46页若周期函数x(t)为奇函数，即x(t)=-x(-t)2/00000sin)(400TnntdtntxTbaa2.2.2周期函数的奇偶性1000sincosnnntnbtnaatx2/2/0000cos2TTntdtntxTa2/2/0000sin2TTntdtntxTbdttxTaTT2/2/0000110sin)(nntnbtx若周期函数x(t)偶函数，即x(t)=x(-t)0cos)(4)(22/0002/00000nTnTbtdtntxTadttxTa100cos)(nntnaatx2013年9月第17/46页dttxTaTT)(12/2/00002/2/0000cos)(2TTntdtntxTa2/2/0000sin)(2TTntdtntxTb)sincos()(0010tnbtnaatxnnn分析：若x(t)为奇函数，则有若x(t)为偶函数，则有0nb00a0na可见这些系数并不需要都去求，如果不掌握可能出差错的。这里分部积分法应用得较多，请多做练习。应用傅里叶级数的三角函数展开式得到的是周期信号的单边频谱。奇偶性小总结：2013年9月第18/46页例2.2周期性三角波的傅氏级数。202022)(0000TttTAAtTtTAAtxx(t)0T0/2-T0/2At解该三角波在时域中表达式为：奇偶？？2013年9月第19/46页2121)(1002/2/0000ATATdttxTaTT2/00002/2/00000cos)2(4cos)(2TTTndttntTAATdttntxTa,6,4,20,5,3,142sin422222nnnAnnA0sin)(22/2/0000TTndttntxTbx(t)0T0/2-T0/2At$$$$$$$$$$自己做一遍！2013年9月第20/46页0nb)sincos()(0010tnbtnaatxnnn将所求得的各系数代回到傅里叶级数展开式中。11022022cos142cos42)(nntnnAAtnnAAtx0arctannnnab6,4,205,3,142222nnnAbaAnnn002T,6,4,20,5,3,142sin422222nnnAnnAan20Aa2013年9月第21/46页2003050()1022cos42)(ntnnAAtx相频谱0arctannnnab6,4,205,3,142222nnnAbaAnnnA()4A24A924A252003050A2幅频谱2013年9月第22/46页衰减n14A4A34A50A()03050方波幅值谱4A24A924A252003050A2三角波幅频谱A()衰减21n2013年9月第23/46页利用欧拉公式tjntjntjntjneejtneetn00002sin21cos00tnjtnetjn00sincos0可推导出如下两式：tnjtnetnjtnetjntjn0000sincossincos00实际是两式：)sincos()(0010tnbtnaatxnnn代入：2.2.3周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开式2013年9月第24/46页tjnnntjnnnnejbaejbaatx00)(21)(21)(10tjnnntjnnntjnntjnnneCeCCeCeCCtx000011010)()(00aC)(21nnn