【新课标】2012年高考数学专题冲刺复习专题十一第6讲

第6讲不等式高考要点回扣1．不等式的性质对不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的放宽和加强，以及条件、结论之间的相互联系，不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础，因此解不等式要求的是同解变形．2．简单的不等式的解法(1)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(2)解分式不等式：移项通分，分子分母分解因式，转化为整式不等式．(3)解指数不等式与对数不等式：化同底，观察底数与1的大小，利用单调性，对数不等式要注意真数大于0.(4)解含参数不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．3．基本不等式：a＋b2≥ab(a，b0)(1)推广：a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b.(2)用法：已知x，y都是正数，则①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2p；②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值14s2.易错警示利用基本不等式求最值时，要注意验证：“一正、二定、三相等”的条件．4．一元二次不等式的解集(联系图象)．尤其会正确表示当Δ＝0和Δ0时不等式的解集．设a0，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1x2，则其解集如下表：ax2＋bx＋c0ax2＋bx＋c≥0ax2＋bx＋c0ax2＋bx＋c≤0Δ0{x|xx1或xx2}{x|x≤x1或x≥x2}{x|x1xx2}{x|x1≤x≤x2}Δ＝0{x|x≠－b2a}R∅{x|x＝－b2a}Δ0RR∅∅5.线性规划：确定可行域，平移目标函数，确定最优解．易错警示解线性规划问题时常出现以下失误：(1)不注意虚实边界；(2)不等式表示的区域搞错；(3)不注意目标函数中y的系数的正负，导致最大值与最小值搞错；(4)求最优整数解搞错．6．绝对值不等式(1)解法：①利用公式：|x|a(a0)⇔x2a2⇔－axa；|x|a(a0)⇔x2a2⇔xa或x－a.②分段讨论，去绝对值号．(2)绝对值三角不等式：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(注意等号成立的条件)精品回扣练习1．若1a1b0，则下列不等式：①a＋bab；②|a||b|；③ab；④ba＋ab2，其中正确的不等式的所有序号为______．解析由1a1b0，得ba0，∴a＋bab成立，而②③不成立，∵ba0，∴ba＋ab2(∵a≠b，∴等号取不到)，④成立，故①④成立．①④2．用铁丝制作一个形状为直角三角形且围成的面积为1cm2的铁架框，有下列四种长度的铁丝供选择，较经济(即够用且耗材最少)的是________．(填上正确答案的序号)①4.6cm②4.8cm③5cm④5.2cm解析设直角三角形的两直角边长分别为acm、bcm，则由题意有12ab＝1，ab＝2，其周长为a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝22＋2≈4.828，可知③合适．③3．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2cd的最小值是________．解析由x、a、b、y成等差数列知a＋b＝x＋y，①由x、c、d、y成等比数列知cd＝xy，②把①②代入(a＋b)2cd得(a＋b)2cd＝(x＋y)2xy＝x2＋y2＋2xyxy≥4，∴(a＋b)2cd的最小值为4.44．若不等式组x2－2x－3≤0，x2＋4x－(1＋a)≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是_____________．解析由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3；若不等式组的解集不是空集，则需不等式x2＋4x－(1＋a)≤0在[－1,3]上有解，即a≥x2＋4x－1在[－1,3]上有解；令h(x)＝x2＋4x－1，h(x)在[－1,3]上单调递增，所以h(x)min＝h(－1)＝－4，则a≥－4.[－4，＋∞)5．已知ab，ab＝1，则a2＋b2a－b的最小值是________．解析记a－b＝t，则t0，a2＋b2a－b＝t2＋2t＝t＋2t≥22(当且仅当t＝2，即a＝6＋22，b＝6－22或a＝2－62，b＝－2－62时取等号)．226．关于x的不等式ax2－6x＋a20的解集为(1，m)，则实数m＝________.解析不等式的解集为(1，m)，可知a0，且方程ax2－6x＋a2＝0有一根为1，故a－6＋a2＝0，解得a＝2或－3(负值舍去)，由2x2－6x＋40，解得1x2，即m＝2.27．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则x2＋1y21x2＋4y2的最小值为________．解析x2＋1y21x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．98．(2010·江苏)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值为________．解析由4≤x2y≤9，得16≤x4y2≤81.又3≤xy2≤8，∴18≤1xy2≤13，∴2≤x3y4≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时x3y4＝27.∴x3y4的最大值是27.279．已知函数f(x)＝x＋px－1(p为常数，且p0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．解析由题意得x－10，f(x)＝x－1＋px－1＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时，取等号，则2p＋1＝4，解得p＝94.9410．设曲线y＝ax33＋12bx2＋cx在点x处的切线斜率为k(x)，且k(－1)＝0，对一切实数x，不等式x≤k(x)≤12(x2＋1)恒成立(a≠0)．(1)求k(1)的值；(2)求函数k(x)的表达式；(3)求证：1k(1)＋1k(2)＋…＋1k(n)2nn＋2.(1)解由已知，得k(x)＝ax2＋bx＋c，∵x≤k(x)≤12(x2＋1)，∴1≤k(1)≤1.∴k(1)＝1.(2)解k(－1)＝0，k(1)＝1⇒a－b＋c＝0，a＋b＋c＝1⇒b＝12，a＋c＝12，∵k(x)≥x，∴ax2＋12x＋c≥x，即ax2－12x＋c≥0恒成立．即a0，Δ＝122－4ac≤0，即ac≥116，又ac≤(a＋c)24＝116，即116≤ac≤116.∴ac＝116.∵a＋c＝12，∴a＝c＝14.∴k(x)＝14x2＋12x＋14＝14(x＋1)2.(3)证明∵1k(x)＝4(x＋1)2，∴原式＝4(1＋1)2＋4(2＋1)2＋…＋4(n＋1)2＝4122＋132＋…＋1(n＋1)2412×3＋13×4＋…＋1(n＋1)(n＋2)＝412－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝412－1n＋2＝2nn＋2，∴所证不等式成立．返回