【新课标】2012年高考数学考前冲刺专题复习(1)：数学思想与方法

第一部分专题复习篇专题一数学思想方法§1函数与方程思想方法解读在中学阶段，数学思想是以渗透的方式，出现于各种知识模块的各个知识点中的，因此学习、掌握、应用数学思想，必须以理解、掌握基础知识和基本技能为前提，否则，数学思想就成了无源之水、无本之木．1．函数思想函数思想，就是变量和常量的思想，是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题中的数量关系，通过建立函数模型(函数关系式)或构造函数，运用函数的定义、图象、性质，去分析问题、讨论问题，使问题得以解决的数学思想．2．方程思想方程思想，就是未知和已知的思想，通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、不等式(组)，或者构造方程(组)、不等式(组)，通过求方程(组)、不等式(组)的解或讨论方程(组)、不等式(组)的解的情况，使问题得以解决．方程思想应用非常普遍，在各类题目中，凡是求未知数，经常要列方程来求．3．函数与方程思想解决的相关问题(1)应用函数思想解决的问题主要有以下类型：①根据问题的已知条件，列出函数关系式，转化为某种函数模型，根据相应函数模型的图象、性质讨论得出问题的答案，例如解决含有参数的方程或不等式问题，可利用二次函数的对称轴、判别式、给定区间上的端点值等转化为二次函数的最值问题；②构造函数模型：把方程、不等式、数列等问题，转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解，例如恒成立问题，通过变形、整理，构造出一个相应的函数，再讨论函数的性质即可．(2)应用方程思想主要解决以下类型的问题：①根据已知条件，如题中的条件等式、某一个公式，列出方程或不等式，解之即可；这是一类常见的问题，各知识点中都有此类型的题目；②直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程的综合性问题，需要转化为方程(组)，讨论方程(组)的解，或结合图形求解等；③构造方程、不等式，或把等量关系问题、函数问题转化为方程或不等式问题加以解决；④立体几何问题，可以通过空间向量的运算解决问题，其中主要用到方程思想求解有关的量，例如求平面的法向量、求线段的长度、确定点的位置，一般都是列方程(组)求解．分类突破一、函数与方程思想在不等式、方程中的应用例1已知不等式7x－2＞(x2－1)m对m∈[－2,2]恒成立，求实数x的取值范围．解设f(m)＝(x2－1)m－7x＋2，f(m)是m的函数，其图象是直线．依题意，f(m)＜0对m∈[－2,2]恒成立．由于y＝f(m)，当－2≤m≤2时的图象是线段，该线段应全部位于x轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即f(－2)＜0，f(2)＜0，解得12＜x＜72.即适合题意的x的取值范围是12＜x＜72.归纳拓展从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系．变式训练1如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，π2]上有解，求a的取值范围．解方法一把方程变形为a＝－cos2x＋sinx.设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，π2])．显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝(sinx＋12)2－54.且由x∈(0，π2]知sinx∈(0,1]．易求得f(x)的值域为(－1,1]．故a的取值范围是(－1,1]．方法二令t＝sinx，则x∈(0，π2]，可得t∈(0,1]．将方程变为t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解．设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－12，如图所示．因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于f(0)＜0f(1)≥0，即－1－a＜0，1－a≥0，∴－1＜a≤1.故a的取值范围是(－1,1]．二、函数与方程思想在数列中的应用例2求证：对于一切大于1的正整数n恒有1＋131＋15…1＋12n－1＞1＋2n2.证明令f(n)＝1＋131＋15…1＋12n－11＋2n(n＝2,3，…)．则f(n＋1)＝1＋131＋15…1＋12n－11＋12n＋11＋2(n＋1)(n＝2,3，…)．又f(n＋1)f(n)＝1＋12n＋1·1＋2n2n＋3＝2n＋2(2n＋1)(2n＋3)＝2(n＋1)4(n＋1)2－1＞1(n＝2,3，…)，∴f(n＋1)＞f(n)．即f(n)(n＝2,3，…)是单调递增函数．又f(2)＝1＋135＝1645＞1664＝12，∴当n＝2,3，…时，恒有f(n)＞12.故1＋131＋15…1＋12n－1＞1＋2n2(n＝2,3，…)．归纳拓展数列就是变量为正整数n的函数，函数f(n)单调性的研究，可通过作差法或作商法，本题先构造函数f(n)，然后利用作商法证明其单调性．变式训练2证明：对任意的正整数n，不等式ln1n＋1＞1n2－1n3都成立．证明令f(x)＝x3－x2＋ln(x＋1)，则f′(x)＝3x3＋(x－1)2x＋1在(0,1]上恒正．∴f(x)在(0,1]上单调递增，当x∈(0,1]时，有x3－x2＋ln(x＋1)＞0，即ln(x＋1)＞x2－x3，对任意正整数n，取x＝1n∈(0,1]，得ln1n＋1＞1n2－1n3.三、函数与方程思想在解析几何中的应用例3已知双曲线C的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，离心率为e＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝λPB→，λ∈13，2，求△AOB面积的取值范围．解(1)由题意可得a2＝4，b2＝1，所以双曲线C的方程为y24－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x.可设A(m,2m)，B(－n,2n)．m＞0，n＞0，由AP→＝λPB→可得P点的坐标为m－λn1＋λ，2(m＋λn)1＋λ.将P点坐标代入y24－x2＝1，化简，得mn＝(1＋λ)24λ.设∠AOB＝2θ，∵tanπ2－θ＝kOA＝2.∴tanθ＝12，sinθ＝55，sin2θ＝45，OA＝5m，OB＝5n.∴S△AOB＝12OAOB·sin2θ＝2mn＝12λ＋1λ＋1.记S(λ)＝12λ＋1λ＋1，λ∈13，2，则S′(λ)＝0得λ＝1，又S(1)＝2，S13＝83，S(2)＝94，∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2；当λ＝13时，△AOB的面积取得最大值83，∴△AOB的面积的范围为2，83.归纳拓展解析几何中，求参数的取值范围问题，往往要与目标函数联系起来，利用目标函数的定义域、值域、单调性等知识来解决．变式训练3已知直线y＝－x＋1与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，若椭圆的离心率e∈12，22，求a的最大值．解设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为OA→·OB→＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1，所以2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.由y＝－x＋1，x2a2＋y2b2＝1，即(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.又直线与椭圆相交于两点，所以Δ＝(－2a2)2－4(a2＋b2)a2·(1－b2)＞0，整理得a2b2(a2＋b2－1)＞0，即a2＋b2＞1，又x1＋x2＝2a2a2＋b2，x1x2＝a2(1－b2)a2＋b2，所以2a2(1－b2)a2＋b2－2a2a2＋b2＋1＝0，即a2＋b2－2a2b2＝0.由b2＝a2－c2＝a2－a2e2，代入上式整理，得a2＝12(1＋11－e2)．又e∈12，22，所以43≤11－e2≤2，73≤1＋11－e2≤3，所以a2∈76，32，适合a2＋b2＞1.所以a∈426，62.所以a的最大值为62.规范演练一、填空题1．已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，则实数λ＝_______.解析由(λa＋b)⊥(a－λb)得(λa＋b)·(a－λb)＝0，∵(3λ－6,2λ＋1)·(3＋6λ，2－λ)＝0，∴λ＝2或λ＝－12.2或－122．(2010·福建)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为________．解析当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.23．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(2)＝0，则函数y＝f(x)在区间(－1,4)内的零点个数为________．解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.由f(2)＝0，得f(－2)＝0.又∵f(x)的周期为3，∴f(1)＝0，f(3)＝0.又∵f(－32)＝f(－32＋3)＝f(32)＝－f(32)，∴f(32)＝0.故函数y＝f(x)在区间(－1,4)内的零点个数为5.54．(2011·辽宁改编)若函数f(x)＝x(2x＋1)(x－a)为奇函数，则a＝________.解析∵f(－x)＝－f(x)，∴－x(－2x＋1)(－x－a)＝－x(2x＋1)(x－a)，∴(2a－1)x＝0，∴a＝12.125．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析由{an}是递增数列，得an＜an＋1对n∈N*恒成立，即n2＋λn＜(n＋1)2＋λ(n＋1)，整理得λ＞－(2n＋1)．而－(2n＋1)≤－3，所以λ＞－3.λ＞－36．设函数f(x)＝x3＋sinx，若0≤θ≤π2时，f(mcosθ)＋f(1－m)0恒成立，则实数m的取值范围是__________．解析易知f(x)为奇函数、增函数，f(mcosθ)＋f(1－m)0，即f(mcosθ)f(m－1)，∴mcosθm－1，而0≤θ≤π2时，cosθ∈[0,1]，∴mm－1，0m－1得m1.(－∞，1)7．(2011·安徽)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．解析由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)cos120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S△ABC＝12×(10－4)×10×sin120°＝153.1538．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于零，则x的取值范围是______________________．解析依题意有x2＋(a－4)x＋4－2a0恒成立，即(x－2)a＋x2－4x＋40恒成立．令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，把g(a)看作是关于主元a的函数，则g(a)是一次函数(x≠2)或是常数函数(x＝2)．因为a∈[－1,1]，当x＝2时，g(a)＝4－8＋4＝0，不合题意，故x≠2.要g(a)0恒成立，只需g(－1)0且g(1)0，解得x1或x3.(－∞，1)∪(3，＋∞)二、解答题9．若a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．解方法一(看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝a＋3a－1，而b0，∴a＋3a－10，即a1或a－3，又a0，∴a1，故a－10.