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专题六概率与统计10110.21.PAmAPAn随机事件的概率范围：，必然事件的概率为，不可能事件的概率为古典概型的概率具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事．随件出现的可能性相等．中所含的基本事件数基本事机事件的概件总数率()21312PABPAPBABPAPB若、为对立事件，则．抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．利用样本频率分布估计总体分布①频率分布表和频率分布直方．互斥事件有一个图；②总体密度曲发生的概线；③率．统计茎叶图．12222212222123.1[()()()]1[].nnnxxxxnsxxxxxxnsxxxxxxn用样本的数字特征估计总体的数字特征．①众数、中位数．②平均数③方差与标准差方差标准差1.互斥事件、对立事件的概率【例1】据统计，在某银行的一个营业窗口排队等候的人数及其相应的概率如下表：试求：(1)至多有1人排队等候的概率是多少？(2)至少有2人排队等候的概率是多少？(3)至少有1人排队等候的概率是多少？记“在窗口排队等候的人数为0人、1人、2人、3人及以上”分别为事件A、B、C、D.(1)至多有1人排队等候的概率是P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.10+0.24=0.34.(2)至少有2人排队等候的概率是P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.36+0.30=0.66.(3)至少有一人排队等候为事件E，则E=，所以P(E)=1-P(A)=1-0.1=0.9.A解答本题的关键是对所给事件进行正确分析，利用互斥事件的概率加法公式进行计算，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，两个互斥事件有一个发生的概率等于每个事件发生的概率的和．12351A.B.8811C.D.42掷一枚硬币若干次，若出现正面记分，出现反面记分，则恰好得分的概率为【变式训练】3332111.84411153.848A.4P恰好得分有种情况：掷次都为正面；掷次时：先正后反，先反后正，并且每一种情况出现对应的概率为，，因为这三种情况是互斥的，所以由互斥事件的概率知恰得分率为故选的概2.古典概型【例2】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券20元；停在B区域返券10元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．(1)若顾客甲消费128元，求返券金额不为0的概率；(2)若顾客乙恰好消费280元，并按规则参与了活动，求他获得返券的金额不低于20元的概率．C.11331.30.21280.1233ABCABPAPBPCABPPAPB设指针落在，，区域分别记为事件，，则由几何概型的概率计算公式得，，若返券金额不为，则指针落在区域或区域．则所以消费元的顾客，返券金额不为的概率是“20?.{20,2020,1020,010,2010,1010,00,200,100,0}91209022DxywwxyD设乙获得返还券金属不低于元为事件因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得返还券金额为元，第二次获得返还券金属为元，则基本事件空间可以表示为，，，，，，，，，即中含有个基本事件，每个基本事件发生的概率为，而乙获得返还券金属不低于元，是指，所以事件中包含的基本事件有662092.3PD个，所以乙获得返还券额不低于元的概率为023.2320答：甲获得返还券面额不为的概率为，乙获得返还券金属不低于元的概率为计算古典概型问题关键在于列出基本事件总数和找出满足条件的基本事件个数，做到不重不漏【变式训练】从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第1次摸到黄球的概率；(2)第2次摸到黄球的概率．运用古典概型公式，用枚举法把事件全部列出来即可．(1)第1次摸球有4个可能的结果：a，b，c，d，其中第1次摸到黄球的结果包括：a，b，故第1次摸到黄球的概率是=0.5.(2)先后两次摸球有12种可能的结果：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，其中第2次摸到黄球的结果包括：(a，b)，(b，a)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，故第2次摸到黄球的概率为=0.5.24612解决古典概型问题可以采用列举的方法，注意恰当地进行分类，分类时要不重不漏，要分清问题是“放回”还是“不放回”．3.概率与统计综合问题【例3】某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为1425.2(490530)(490530)(130210)132370110220.20202010490()5231030().YXPPYYPXXPXPXPX由题意“发电量低于万千瓦时或超过万千瓦时”＜或＞＜或＞故今年六月该水力发电站的发电量低于万千瓦时或超过万千瓦时的概率为【变式训练】在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间．现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；…；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中：(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率．(1)算出成绩在区间[80,90)内的频率，利用公式频率×样本容量=频数求解．(2)用古典概型公式求解．(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1.所以，40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1=4(人)．(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有一名学生成绩在区间[90,100]内”，由已知和(1)的结果可知，成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d，成绩在区间[90,100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f，则选取学生的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)．基本事件数为15，事件“至少有一人成绩在区间[90,100]内”的可能结果为：(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，基本事件数为9，所以P(A)==.91535对于频率分布直方图，识图是关键，特别注意纵坐标的单位为“频率/组距”，要将纵坐标与组距相乘才能得到频率，另外所有小矩形(频率)的面积和为1.4.用样本的数字特征估计总体的数字特征【例4】某班甲乙两同学的高考备考成绩如下：甲：512,554,528,549,536,556,534,541,522,538；乙：515,558,521,543,532,559,536,548,527,531.(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均数．运用茎叶图表示数据的统计情况，中间为百、十位，两边为个位数字，并利用公式计算中位数和平均数．(1)两学生成绩的茎叶图如图所示：5125225285345365385415495545565155215275315325365435485585595365385372532536534.2122228345200将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：乙：从以上排列可知，甲学生成绩的中位数为，乙学生成绩的中位数为甲学生成绩的平均数为：3638414954565371015212731323643485859500537.10，乙学生成绩的平均数为：对统计中的茎叶图，众数、中位数、平均数、标准差和方差等概念要全面的理解，不仅要掌握其计算公式和方法，还要学会通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据．【变式训练】如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB，样本标准差分别为sA和sB，则()62.5,10,5,7.5,2.5,10615,10,12.5,10,12.5,102.51057.52.51037.5=66151012.51012.51070,6,B.6ABABABABxxxxBABss由图可知，组的个数为，组的个数为，所以，显然，又由图形可知，组的数据分布比组均匀，变化幅度不大，故组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以，选故1.“”“”2.求解较复杂的概率问题一般有两种方法：一是直接法求解，即将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，然后利用互斥事件的概率公式计算，二是间接求法，即先求出其对立事件的概率，特别是至多，至少型题目，用间接法有时比较简单．古典概型问题，可用列举法将基本事件一一列出，但列举时应按某种规律一一列举，做到不重不漏，常常可借助于树状图、表格、坐标系等．4.5.“/?3.对于几何概型，要会解决与长度、面积、体积相关的简单的几何概型的概率问题．掌握随机抽样的方法，特别是分层抽样．样本数据的频率特征与数字特征要会识别，要注意频率分布直方图中纵坐标的单位是频率组距．理清茎叶图、条形图、频率分布直方图、频率分布折线图等图表，同时对众数、中位数、平均数、标准差、方差等概念要清晰，并领会它们在统计中的作用．