2020届金太阳高三4月联考数学(理)试题(解析版)

第1页共21页2020届金太阳高三4月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合2230,AxxxxN，则集合A的真子集有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】C【解析】解出集合A，确定集合A中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果.【详解】由2230,13,0,1,2AxxxxNxxxN，集合A有3个元素，因此，集合A的真子集个数为3217个.故选：C．【点睛】本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意xN，属简单题．2．已知i是虚数单位，则化简202011ii的结果为（）A．iB．iC．1D．1【答案】D【解析】计算出11iii，再利用ninN的周期性可求得结果.【详解】21121112iiiiiii，又41i，202050520204111iiii.故选：D.【点睛】本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及ninN的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题.3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）第2页共21页A．4500元B．5000元C．5500元D．6000元【答案】B【解析】根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果.【详解】刚退休时就医费用为400015%600元，现在的就医费用为600100500元，占退休金的10%，因此，目前该教师的月退休金为50050000.1元.故选：B．【点睛】本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属简单题．4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．27B．37C．17D．314【答案】B【解析】分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C种方法；②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2510C种方法；③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2510C种方法．第3页共21页所以满足条件的概率为2548337CC，故选：B．【点睛】本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．5．已知抛物线24yx的焦点为F，过点F和抛物线上一点3,23M的直线l交抛物线于另一点N，则:NFNM等于（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:3【答案】C【解析】求出直线MF的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NFNM的值.【详解】抛物线的焦点为1,0F，所以23331FMk，由2431yxyx得：231030xx，13x，213x，2121113214323pxFNMNxxp，故选：C．【点睛】本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题．6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABCABC中，D、E分别为棱1CC、AC的中点，则直线AB与平面1BDE所成角的余弦值为（）A．3010B．3020C．13020D．7010【答案】C【解析】设正三棱柱111ABCABC的所有边长均为2，取11AC的中点F，以点E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线AB与平面1BDE所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值.第4页共21页【详解】设正三棱柱111ABCABC的所有边长均为2，取11AC的中点F，连接EF，以点E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点1,0,0A、0,3,0B、1,0,1D、0,0,0E、10,3,2B，1,0,1ED，10,3,2EB，1,3,0AB，设平面1BDE的法向量为,,nxyz，由100nEDnEB，得0320xzyz，取3z，则3x，2y，3,2,3n，设直线AB与平面1BDE所成角为，则33330sincos,20210ABnABnABn，则2130cos1sin20.故选：C.【点睛】本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题．第5页共21页7．已知点4,3A，点B为不等式组00260yxyxy所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（）A．5B．455C．5D．255【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.【详解】作出不等式组00260yxyxy所表示的平面区域如下图所示：联立0260xyxy，解得22xy，由图知AB的最小值即为4,3A、2,2B两点间的距离，所以AB的最小值为2242325.故选：C．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．8．给出下列说法：第6页共21页①定义在,ab上的偶函数24fxxaxb的最大值为20；②“4x”是“tan1x”的充分不必要条件；③命题“00,x，0012xx”的否定形式是“0,x，12xx”．其中正确说法的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】根据偶函数的定义求得a、b的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan1x，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，二次函数24fxxaxb的对称轴为直线42ax，该函数为偶函数，则402a，得4a，且定义域4,b关于原点对称，则4b，所以，24fxx，定义域为4,4，max420fxf，命题①正确；对于命题②，解方程tan1x得4xkkZ，所以，tan14xx，tan14xx，则“4x”是“tan1x”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确.故选：D.【点睛】本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．9．已知log30m，4log2am，3log2bm，0.52cm，则a、b、c间的大小关系为（）A．abcB．bacC．cabD．bca【答案】A第7页共21页【解析】由题意得出1m，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log2、3log2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a、b、c三个数的大小关系.【详解】log30log1mm，所以，对数函数logmyx为0,上的增函数，则1m，0.54331log2log3log2122，又指数函数xym为R上的增函数，故0.534log2log22mmm，即abc.故选：A．【点睛】本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题．10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15斤，1斤16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（）A．9两B．266127两C．26663两D．250127两【答案】B【解析】先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a两，由题意可知7人的分银量构成首项为a，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a的值.【详解】共有银161610266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成首项为a，公比为2的等比数列，故有71226612a，所以266127a，故选：B．【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．11．在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若coscos3caBbA，第8页共21页则coscoscosaBaAbB的最大值为（）A．2B．22C．32D．233【答案】B【解析】利用边角互化思想结合等式coscos3caBbA可得tan2tanAB，利用边角互化思想可得cos1cossincoscoscossinaBABaAbBBA，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.【详解】coscos3caBbAQ，3sincossincossinsinsincossincosABBACABABBA，即tan2tanAB，A、B均为锐角且cossincoscoscossincossincosaBABaAbBAABB11112cossin2cossintan1222cossincossintan2ABABBBABAA≤，故选：B．【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．12．已知fx为奇函数，gx为偶函数，且3log31xfxgx，不等式30gxfxt≥对xR恒成立，则t的最大值为（）A．1B．332log2C．2D．33log212【答案】B【解析】根据函数yfx为奇函数，函数ygx为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由30gxfxt≥得出33231log3xxt，换元30xp，第9页共21页利用导数求出函数321pyp的最小值，即可得出实数t的最大值.【详解】函数yfx为奇函数，ygx为偶函数，且3log31xfxgx，①3log31xfxgx，即3log31xfxgx，②①②得：33331312loglog31331xxxxxxfxx，2xfx，3log312xxgx，由30gxfxt≥得33323133log312log3xxxtgxfxx≤，令30xp，321pyp，则2312ppyp.当02p时，0y，此时函数321pyp单调递减；当2p时，0y，此时函数321pyp单调递增.所以，当2p时，函数321pyp取得最小值，即min274y，3327log32log24t.故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题．二、填空题13．已知向量2,5a，