第七章 空间解析几何与向量代数

-193-第七章空间解析几何与向量代数空间解析几何是平面解析几何的推广，两者有许多类似之处．首先建立空间直角坐标系，然后将空间中的点与有序三元实数组一一对应，将空间几何图形与代数方程或方程组对应，这样就可把几何的问题化为代数的问题进行研究．空间解析几何的知识是学习多元函数及其微积分的重要基础．由于空间一个点需要用有序三元实数组表示，无疑在空间解析几何中问题的讨论要复杂许多，所以在建立平面和空间直线方程时，还需借助于向量代数的工具．向量代数也是物理学中很重要的基础知识．7．1空间直角坐标系7．1．1空间直角坐标系在空间取一定点O，称为原点，过点O作三条互相垂直且有相同单位的数轴，依次称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴．这样就建立了一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系(图7．1)．三条坐标轴的正方向通常规定符合右手规则：以右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以2π角度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7．1）．图7．1图7．2三条坐标轴中的每两条所决定的平面称为坐标面，由x轴和y轴所确定的坐标面称为xOy面，同样还有yOz面及zOx面．三个坐标面分整个空间为八个部分，每一部分称为一-194-个卦限（图7．2）．7．1．2点的直角坐标在空间直角坐标系中，设M为空间任意一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的三个平面，分别交三坐标轴于三点P，Q，R．设点P，Q，R在x，y，z轴上的坐标分别为x，y，z，则称有序三元实数组（x，y，z）为点M在Oxyz坐标系中的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标．显然，空间一个点M在Oxyz坐标系中惟一地确定了有序三元实数组（x，y，z）．反之，对每三个实数按一定顺序排列的有序数组（x，y，z）也在空间惟一地确定一点M（图7．1）．这样，空间的点和有序三元实数组（x，y，z）之间便建立了一一对应关系．坐标为（x，y，z）的点M记作M（x，y，z）．一些特殊点的坐标：原点的坐标为(0，0，0)；x轴上点P的坐标为（x，0，0）；点Q和点R的坐标分别为（0，y，0）和（0，0，z）；xOy面，yOz面及zOx面上的点N，K，H的坐标分别为（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．此外，每个卦限中的点的坐标符号为：I(+，+，+)，II(-，+，+)，III(-，-，+)，IV(+，-，+)，V(+，+，-)，VI(-，+，-)，VII(-，-，-)，VIII(+，-，-)．7．1．3两点间的距离公式现在推导空间两点间的距离公式，我们将看到它与平面解析几何中两点间的距离公式相类似．定理1空间两点1111()Mxyz，，和2222()Mxyz，，之间的距离为()()()21221221221zzyyxxMMd−+−+−==．（1）证将点1M，2M投影到xOy面上，设对应的投影点分别为'1M，'2M，过点1M作'22MM的垂线，垂足记作N（图7．3）．在直角三角形21NMMΔ中，注意到122zzNM−=，221122121''()()==−+−MNMMxxyy，由勾股定理得22122''dMMMN=[phone]()()()xxyyzz=−+−+−．图7．3特别地，点()Mxyz，，与O(0，0，0)之间的距离为222zyxOMd++==．（2）-195-例1求证以1(419)M，，、2(1016)M−，，、3(243)M，，为顶点的三角形是等腰三角形．证由公式（1），得222212(104)(11)(69)49,MM=−+−−+−=222223(210)(41)(36)98,MM=−+++−=222321(24)(41)493),(9MM−+−=+−=所以3112MMMM=，即213ΔMMM为等腰三角形．习题7．11．求点(435)A−，，在各坐标面上的投影点坐标和点A引至各坐标轴的垂足的坐标，并求点A到各坐标面和各坐标轴的距离．2．求点(321)−−P，，关于(1)各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．3．在空间直角坐标系Oxyz中，标出下列各点的位置（0，0，－4），（0，3，4），（2，－1，1）．4．过点0000()Mxyz，，分别作平行于z轴的直线和平行于yOz面的平面，问在它们上面的点的坐标各有何特点？5．设x轴上点P到点(023)A，，的距离为到点(011)B−，，的距离的两倍，求点P的坐标．6．求证以1(453)M，，、2(174)M，，、3(246)M，，为顶点的三角形是等边三角形．7．2曲面与空间曲线的一般方程7．2．1曲面与空间曲线的一般方程定义1设n元实数组全体所成的点集为12{(,,,),1,2,,}RRnnixxxxin=∈=，非空点集RnD⊂，若对D中每一点12()nPxxx，，，按照某一对应法则f，总有惟一的实数z与之对应，则称f为定义在D上的n元函数，记作12()nufxxx=，，，或(),ufPPD=∈，并称点集D为函数的定义域；称数集{}()RuufPPD=∈∈，为函数的值域．特别地，当n=2时，为二元函数2()()=∈⊂zfxyxyDR，，，；当n=3时，为三元函数3()()=∈⊂ufxyzxyzDR，，，，，．定义2在一个空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点的坐标x，y，z都满足三元方程()0Fxyz=，，（1）-196-而且坐标满足方程（1）的点也一定在这个曲面S上，则方程（１）称为曲面S的方程，曲面S称为方程（１）的图形．两个相交的曲面一般相交于一条空间曲线C(图7．4)，其上点的坐标满足这两个曲面方程的联立方程组()0,()0.FxyzGxyz=⎧⎨=⎩，，，，（2）而且坐标满足方程组（2）的点一定在这条曲线C上，则这个方程组称为空间曲线C的一般方程，曲线C称为方程组（2）的图形．令()()Fxyzzfxy=−，，，，则()0,Fxyz=，，所以二元函数2()()=∈⊂zfxyxyDR，，，在几何上一般表示一个曲面．由定义2，通常一个曲面（一条曲线)可用图7．4其上点的坐标x，y，z的一个（两个）三元方程表示．反过来，变量x，y，z的一个（两个）方程通常表示一个曲面（一条曲线）．例3求到两定点A(2，-3，2)和B(1，4，-2)等距离点的全体所形成的曲面方程．解设曲面上的点为()Mxyz，，，依题意有,AMBM=即222222(2)(3)(2)(1)(4)(2)xyzxyz−+++−=−+−++.化简得7420xyz−++=．这个方程表示的是一个平面，它是线段AB的垂直平分面．此外，容易建立xOy面的方程为z=0，同样还有yOz面及zOx面的方程分别为x=0及y=0．方程z=5表示过点（0，0，5）且与xOy面平行的平面方程．方程组0,0=⎧⎨=⎩yz表示x轴的方程，5,1=⎧⎨=⎩xy表示平行于z轴的直线方程．读者可自己写出与其它坐标面平行和与坐标轴平行的平面和直线的方程．平面是曲面中最简单的图形，直线是空间曲线中最简单的图形.关于一般平面和直线的方程，我们将在第5节中作详细讨论．7．2．2球面、柱面、旋转曲面1.球面设球面的球心为0000()Mxyz，，，半径为R，则点()Mxyz，，在球面上，当且仅当-197-0MMR=，即222000()()()xxyyzzR−+−+−=，故该球面的方程为2222000()()()xxyyzzR−+−+−=.（3）若M0在坐标原点时，则球面方程为2222xyzR++=.（4）而222zRxy=±−−，当取+（―）号时表示上(下)半球面．例4研究方程222240xyzxy++−+=表示怎样的曲面．解将已知方程配方得222(1)(2)5xyz−+++=，因此该方程表示球心为0(1,2,0)M−，半径为5的球面．一般地，如下形式的三元二次方程222()0AxyzDxEyFzG++++++=(A≠0)通过配方可知它表示的图形可能是一个球面，或一个点，或虚球面．请读者注意这个方程的特点．2．柱面定义3平行定直线L，并沿定曲线C移动的直线l形成的曲面称为柱面．C称为柱面的准线，l称为柱面的母线（图7．5）．请读者思考柱面的准线是否惟一？下面仅讨论准线在坐标面上，而母线平行于坐标轴的柱面．这种柱面的方程有个显著的特点，即在曲面方程中缺少某一坐标．设曲面S的方程为()0Fxy=，，（5）则对S上的点0000()Mxyz，，，有00()0Fxy=，，过点0M作平行于z轴的直线，显然，该直线上所有点的坐标000()Mxyz，，都满足方程(5)，即该直线在曲面S上．也就是由方程（5）表示的曲面是由平行于z轴的直线构成，所以它是一个柱面，其准线可取xOy面的曲线()0Fxy=，（如图7．6）．-198-图7．5图7．6类似地，方程()0Gxz=，，只含x、z变量，而不含y变量，表示母线平行于y轴的柱面，方程()0Hyz=，表示母线平行于x轴的柱面．例5下列二次方程各表示一个柱面，统称为二次柱面．（1）22zx=表示母线平行于y轴的抛物柱面（图7．7(a)）;（2）224xy+=表示母线平行于z轴的圆柱面（图7．7(b)）;(3)22221yzab+=表示母线平行于x轴的椭圆柱面（图7．7(c)）;(4)22221xyab−=表示母线平行于z轴的双曲柱面（图7．7(d)）．(a)(b)(c)(d)图7．7问方程1xz+=表示怎样的曲面？0yx−=呢？请读者自行思考．3．旋转曲面定义4在空间3R中，一曲线C绕定直线L旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面．该定直线L称为旋转轴，曲线C称为旋转曲面的一条母线．设曲线C在yOz坐标面上，其方程为()0fyz=，，(6)现在建立曲线C绕z轴旋转一周所成的旋转曲面S的方程(图7．8)．在旋转曲面S上任意取一点M(x，y，z)，点M到z轴的距离为22dxy=+．因为M在旋转曲面S上，将M绕z轴旋转到yOz坐标面上，得到两点221(0)Mxyz+，，，222(0)Mxyz−+，，．-199-显然，1M或2M在母线C上，所以将其代入方程(6)得旋转曲面S的方程图7．822()0fxyz±+=，．（7)其中取+（-）号所得方程是母线C在0y≥(或0y≤)的部分绕z轴旋转而成的旋转曲面方程．同理，若将曲线C绕y轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为22()0fyxz±+=，．(8)定义5由一条直线绕与它相交的另一条直线旋转一周所形成的旋转曲面称为圆锥面．两直线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角α(0)2πα称为圆锥面的半顶角．例6建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程．解在yOz坐标面上的直线l的方程为cotzyα=将其绕z轴旋转一周，由(7)得旋转曲面方程为22cotzxyα=±+，即2222()zaxy=+．(9)其中cotaα=(图7．9)．除了圆锥面以外，圆柱面222xya+=和球面图7．92222xyzR++=也是旋转曲面，请读者自己思考它们的母线和旋转轴各是什么？类似地,可讨论zOx坐标面上的曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所形成的旋转曲面方程．例7求yOz坐标面上的双曲线22221yzac−=分别绕z轴和y轴旋转一周所形成的旋转曲面方程．它们的图形分别称为旋转单叶双曲面(图7．10)和旋转双叶双曲面(图7．11)．-200-图7．10图7．11解由（7）式，所给双曲线绕z轴旋转所成的曲面方程为222221xyzac+−=，由（８）式，所给双曲线绕y轴旋转所成的曲面方程为222221yxzac+−=.7．2．3二次曲面定义6一个三元二次方程2220AxByCzDxyEyzFzxGxHyIzJ+++++++++=．（10）222222(0)ABCDEF+++++≠表示的图形称为二次曲面．球面，圆锥面和二次柱面都是二次曲面，现在再介绍五种常见的二次曲面．因为适当选取坐标系可使它们的方程成为形式简单的标准方程，所以，下面仅就它们的标准方程来讨论其表示的图形．定义7用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面S相截的交线（即截痕）的形状来研究曲面S的图形的方法称为截痕法．截痕法是研究二次曲面特性的基本方法．