(剪力图与弯矩图)

第7章弯曲强度工程力学（静力学与材料力学）第二篇材料力学杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲。主要承受弯曲的杆件称为梁。在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。第7章弯曲强度弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最先从应力最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的点，这些点称为“危险点”。绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强度问题。本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用；然后应用平衡、变形协调以及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？梁为什么做成变截面的？孔开在哪里最合理?梁为什么可以开孔？7-1工程中的弯曲构件7-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图7-4载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系7-2梁的剪力和弯矩第7章弯曲强度(1)－弯曲内力返回总目录7-5与应力分析相关的截面图形几何量桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。7-1工程中的弯曲构件一.工程实例石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人与货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。二、基本概念2、梁外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.(1)受力特征(2)变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.1、弯曲变形三、受弯杆件的简化1.杆件本身的简化：通常取梁的轴线代替梁。2.载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。MeFq①固定铰支座2个约束，1个自由度。②可动铰支座1个约束，2个自由度。3.支座简化③固定端3个约束，0个自由度。XAYAMA4.梁的三种基本形式①简支梁M—集中力偶q(x)—分布力②悬臂梁③外伸梁q—均布力—集中力P跨度：简支梁或外伸梁的两个绞支座之间的距离。悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离。一、内力计算[例1]已知如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.解:解除约束，求支座反力BAalFRAYRAXRBABFlalFRFlFaRmXFAyBAAx)(,0,00,0§7-2梁的剪力和弯矩求内力——截面法弯曲构件内力剪力弯矩1、弯矩M:构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.MYAXARBABFmmxYAFSCFRBFSCMxYMmlalFYFFACAy,0)(s,02、剪力FS:构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.二、内力的符号规定1、剪力符号①剪力Fs:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Fs(+)Fs(–)Fs(–)Fs(+)M(+)M(+)M(–)M(–)解(1)求梁的支反力RA和RB例2图示梁的计算简图。已知F1、F2，且F2F1，尺寸a、b、c、d和l亦均为已知.试求梁在E、F点处横截面处的剪力和弯矩.0mARBBdEDAabclCFF1F2RA021bFaFlRB0mB0)()(21blFalFlRAlblFalFRA)()(21lbFaFRB21记E截面处的剪力为FSE和弯矩ME，且假设FSE和弯矩ME的指向和转向均为正值.BdEDAabclCFF1F2RAAECFSERAME00SEAyFR,F0,0cRMmAEE解得AERFScRMAE取右段为研究对象AEcFSERAMEa-cb-cCDl-cBEFSEF1F2MERB0yF021SFFRFBE0ME0)()()(21McbFcaFclREB解得++cRMAEAERFSBdEDAabclCFF1F2RA计算F点横截面处的剪力FSF和弯矩MF.BdEDAabclCFF1F2RAFdBFSFMFRB0,00,0SdRMmRFFBFFBFy解得：-+RFBFSdRMBF左侧梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力三、计算规律1、剪力niiSFF左（右）12、弯矩mkkiniiMaFM左（右）左（右）11不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩.左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩例3轴的计算简图如图所示，已知F1=F2=F=60kN，a=230mm,b=100mm和c=1000mm.求C、D点处横截面上的剪力和弯矩.F2=FACDBbacF1=FRARB解(1)求支座反力kN60FRRBA(2)计算C横截面上的剪力FSC和弯矩MC.看左侧F2=FACDBbacF1=FRARBkN601SFFCkN.m061.bFMC(3)计算D横截面上的剪力FSD和弯矩MD.看左侧060601SFRFADkN.m8.13)(1FacFacRMAD解例题4求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.(1）求支座反力RA=4kNRB=-4kNC12m(2）求1-1截面的内力(3）求2-2截面的内力kN4SS1RFFAC左kN.m411RMMAC左kN4)4(S2SRFFBC右kN.m651)4()152(2..RMMBC右B1m2.5m10kN.mAC12RARB7-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和弯矩方程用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.1、剪力方程2、弯矩方程为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为x；然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FS(x)和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程FS(x)和弯矩方程M(x)。建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。弯矩图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧二、剪力图和弯矩图剪力图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFs(x)Fs图的坐标系OM图的坐标系xOM(x)外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.(1)受力特征(2)变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.弯曲变形1）剪力Fs:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。2）弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Fs(+)Fs(–)Fs(–)Fs(+)M(+)M(+)M(–)M(–)剪力和弯矩1.内力的符号规定左侧梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力2.计算规律1、剪力niiSFF左（右）12、弯矩mkkiniiMaFM左（右）左（右）11不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩.左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩例题5悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl的作用。梁的全长为2l。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。FPllABCMO=2FPl解：1．分段本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。2．建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系。由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，因此，需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。FPllABMO=2FPlCOyx3．建立剪力方程和弯矩方程FPllABMO=2FPlOyxCx1x2在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将梁截开，并在截开的横截面上，假设剪力FS(x1)、FS(x2)和弯矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。FQ(x)M(x)Q1P00yFFxF＝＝1P1020MMxMFlx＝－＋－＝对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB根据平衡方程x1得到AC段的剪力方程与弯矩方程：lxFxF1P1Q0＝lxxFxlFlFxlFMxM11P1PP1P10222＝－＝－＝FQ(x2)M(x2)Q2P00yFFxF＝＝2P2020MMxFlx＝－－＝得到CB段的剪力方程与弯矩方程：FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是x的线性函数。对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。根据平衡方程x2例题6如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解(1)将坐标原点取在梁的左端，列出梁的剪力方程和弯矩方程FSxFxMAFBlx)0()()0()(SlxFxxMlxFxF例题7图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.解(1)求支反力2qlRRBAlqRARBABx(2）列剪力方程和弯矩方程.)0(222)()0(2)(2SlxqxqlxxqxxRxMlxqxqlqxRxFAA剪力图为一倾斜直线.绘出剪力图.)0(2)(SlxqxqlxFx=0处，x=l处,2SqlF2SqlF+ql/2ql/2BlqRAAxRB弯矩图为一条二次抛物线.由)0(222)(2lxqxqlxxqxxRxMAlqRAABxRB00,Mx0,Mlx令02)(dqxqldxxM得驻点2lx弯矩的极值822maxqlMMlx绘出弯矩图+82qll/2由图可见，此梁在跨中点截面上的弯矩值为最大但此截面上FS=0两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lqRAABxRB+ql/2ql/