二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5。故所求函数解析式为y=2x2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c.二、交点型例2已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x2+8x-9的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21∴y=21x(x-3),即y=xx23212.三、顶点型例3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21∴y=-,4)1(212x即y=-.27212xx由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型例4二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122xxy则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。∴y=x3)3(22xcbx=x.662x∴b=-6,c=6.因此选（B）五、弦比型例5已知二次函y=ax2+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x2+8x-6.六、识图型例6如图1，抛物线y=cxbx)2(212与y=dxbx)2(212其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？（2）求两条抛物线的解析式。解（1）抛物线y=cxbx)2(212与x轴交于M，N两点（过程从略）；（2）因y=dxbx)2(212的顶点坐标为（0，1），∴b-2=0,d=1,∴b=2.∴Y=1212x.将点N的坐标与b=2分别代入y=221x+(b+2)x+c得c=6.∴y=221x+4x+6七、面积型例7已知抛物线y=xcbx2的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。解将（0，-3）代入y=cbxx2得c=-3.由弦长公式，得122bAB点P的纵坐标为4122b由面积公式，得.8412122122bb解得.2b因对称轴在y轴的右侧,∴b=-2.所以解析式为y=322xx八、几何型例8已知二次函数y=2x-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解由弦比公式，得AB=4)42(42mmm顶点C的纵坐标为-4)4(2m∵ΔABC为等边三角形∴43214)4(2mm解得m=4,32故所求解析式为y=,344)324(2xx或y=344)324(2xx九、三角型例9已知抛物线y=cbxx2的图象经过三点（0，2512）、（sinA，0）、（sinB，0）且A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解∵A+B=900，∴sinB=cosA.则由根与系数的关系，可得cAAbAAcossincossin将（0，2512）代入解析式，得c=.2512（1）2)2(2,得,125242b∴57b∵-b,0∴b=-57所以解析式为y=2512572xx十、综合型例10如图2，已知抛物线y=-qpxx2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，若∠ACB=900，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其解析式．解设A，B两点的横坐标分别为x21,x,则q=(-x.)21OBOAx由ΔAOC～ΔCOB，可得OC2=OA·OB，∴q2=q解得q1=1,q2=0（舍去），又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得2OBOCOAOC即21121XX∴x1+x2=-2x1x2即p=2p=2所以解析式为y=-x2+2x+1函数及其图象例1.二次函数性质的应用例2.利用二次函数性质求点的坐标例3.求二次函数解析式例4.求二次函数解析式二、同步测试三、提示与答案--------------------------------------------------------------------------------例6.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，对称轴是直线x=-1(1)确定a.b.c.b2-4ac的符号，(2)求证a-b+c＜o;(3)当x取何值时，y随x值的增大而减小。解：(1)由抛物线开口向上，得出a＞0，由抛物线与y轴交点坐标为(O，C)，而此点在x轴下方，得出c＜0，又由抛物线的对称轴是x=-1，在y轴左侧，得出b与a同号∴b＞0。抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bc+c=0有两个不等的实根，∴b2-4ac＞0(2)当x=-1时，y=a-b+c＜0(3)当x＜-1时，y随x值的增大而减小。例7.已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式(2)若此函数图象上有一点P，使ΔPAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标。分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3，根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4，可知其与x轴交点为(1，0)，(5,0)解：(1)∵当x=3时y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3，-2).∴设二次函数解析式为y=a(x-3)2-2又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4，∴图象与x轴交于(1，0)和(5，0)两点∴a(1-3)2-2=0∴a=∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+(2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位，｜AB｜=4∴×4×｜Py｜=12∴｜Py｜=6∴Pg=±6但抛物线开口向上，函数值最小为-2，∴Py=-6应舍去，∴Pg=6又点P在抛物线上，∴6=x2-3x+x1=-1,x2=7即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式｜x1-x2｜=，会使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。例8.如图，矩形EFGH内接于ΔABC。E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上，AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm)。试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少?解：∵四边形EFGH是矩形∴HG∥AC∴ΔABC∽ΔHBG设BD交HG于M则BD与BM分别是ΔABC和ΔHBG的高。∴∵HG∥AC,∴MD=HE=x,BM=6-x∴,∴HG=∵y=S矩形EFGH=HE*HG∴y=x*整理得y=-x2+8x∵BD=6∴自变量x的取值范围是0＜x＜6∵x2的系数为-＜0，∴y有最大值当x=-=3时，y最大值==12∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0＜x＜6)，当它的宽为3cm时，矩形EFGH面积最大，最大面积为12cm2。例9.二次函数y=ax2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2是方程ax2+bx-5=0的两个根，且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A，(1)求二次函数的解析式(2)求原点O到直线AB的距离解(1)如图∵-=3∴-=6又x1+x2=-=6x1*x2=-由已知，有x12+x22=26，∴(x1+x2)2-2x1x2=26即(-)2+=26,=26-36解得a=-1∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4(2)∵OB=5,OC=4,AC=3∴AB==3又OA==5∴ΔAOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，∴BD=∴OD=,即原点O到直线AB的距离为三、同步测试：选择题：1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是()(A).(-2，-1)(B)(-3，-1)(C)(-3，-2)(D)(-4，-2)2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是()(A)a=b(B)a=-b(C)a=｜b｜(D)｜a｜=b3.点P(x,y)在第二象限，且｜x｜=2，｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为()(A)(-2，3)(B)(2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，3)4.函数y=中，自变量x的取值范围是()(A)x≤2(B)x＜2(C)x≠2(D)x＞25.函数y=中，自变量x的取值范围是()(A)x＞-2且x≠1(B)x≥-2且x≠1(C)x≥-2且x≠±1(D)x≥-2或x≠±16.在下列函数中，成正比例函数关系的是()(A)圆的面积与它的周长(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽(C)正方形面积与它的边长(D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高7.函数y=k(x-1)与y=(k＜o)在同一坐标系下的图象大致如图()8.如果直线y=kx+b的图象过二、三、四象限，那么()(A)k＞0,b＞0(B)k＞0，b＜0(C)k＜0，b＞0(D)k＜0，b＜09.对于抛物线y=-+x-x2，下列结论正确的是()(A)开口向上，顶点坐标是(，0)(B)开口向下，顶点坐标是(，0)(C)开口向下，顶点坐标是(-，)(D)开口向上，顶点坐标是(-，-)10.若a＞0,b＜0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的()11.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则()(A)a＞0,b＞0,c＞0,Δ＜0(B)a＜0,b＞0,c＜0,Δ＞0(C)a＞0,b＜0,c＜0,Δ＞0(D)a＜0,b＜0,c＞0,Δ＜012.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的解析式为()(A)y=2x2+4x-8(B)y=2x2-8x+8(C)y=2x2+4x-2(D)y=2x2-8x-2填空题13.点A(，-5)到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是____.14.直线y=kx+b与直线y=-x平行，且通过点(2，-3)，则k=__，在y轴上的截距为___.15.一次函数的图象经过(1，-5)点且与y轴交于(0，-1)点，则一次函数的解析式为____.16.已知抛物线的顶点为M(4，8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为____.解答题：17.一次函y=x+分别与x轴，y轴交于点A，B，点C(0,a)且a＜0，若∠BAC为直角，求图象过点C与点A的一次函数解析式。18.已知如图，在ΔABC中，AB=4，AC=6,D是AB边上一点，E是AC边上一点，∠ADE=∠C,设DB=x,AE=y。(1)求出y与x的函数关系式；(2)画出这个函数图象。19.在直角坐标系xoy中，直线l过点(4，0)，且与x，y轴围成的直角三角形面积为8，一个二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点，且以x=3为对称轴，开口向下。求二