一元二次方程讲义

翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）第6讲判别式和根与系数的关系【学习目标】1、使学生会运用根与系数关系解题2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：acb42，（1）当042acb时，方程有两个不相等的实数根，aacbbx242；（2）当042acb时，方程有两个相等的实数根，abxx221；（3）当042acb时，方程无实数解。2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02cbxax其中0a，设其根为21,xx，由求根公式aacbbxx24221，有abxx21，acxx213、常见的形式：（1）212212214)()(xxxxxx（2）)(3)(21213213231xxxxxxxx（3）21221214)(xxxxxx【典型例题】例1当m分别满足什么条件时，方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022cxx的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）例3、已知方程0652xx的根是x1和x2，求下列式子的值：（1）2221xx+21xx（2）1221xxxx例4、已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1，x2，且31121xx，求①m的值；②求x12+x22的值.例5、已知关于x的方程（1）03)21(22axax有两个不相等的实数根，且关于x的方程（2）01222axx没有实数根，问a取什么整数时，方程（1）有整数解？【经典练习】姓名：成绩：一、选择题1、方程012kxx的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、与k的取值有关翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）2、已知关于x的一元二次方程0)1()1(22kxk的两根互为倒数，则k的取值是().A、2B、2C、2D、03、设方程0532qxx的两根为1x和2x，且0621xx,那么q的值等于().A、32B、-2C、91D、924、如果方程12mxx的两个实根互为相反数，那么m的值为（）A、0B、－1C、1D、±15、已知ab≠0，方程02cbxax的系数满足acb22，则方程的两根之比为（）A、0∶1B、1∶1C、1∶2D、2∶3二、填空题1、已知方程0432xx的两个根分别是x1和x2，则21xx=_____，21xx=_____2、已知方程02baxx的两个根分别是2与3，则a，b3、已知方程032kxx的两根之差为5，k=4、（1）已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=（2）方程05242mxx的一个根是另一个根的5倍，则m=；5、以数21,21为根构造一个一元二次方程三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22xmxm的根的情况并根据下列条件确定m的值。（1）两实数根互为倒数（2）两实数根中有一根为1。2、求证：不论k取什么实数，方程0)3(4)6(2kxkx一定有两个下相等的实数根？翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）3、已知方程032cxx的一个根是2，求另一个根及c的值。4、已知方程20542xx的两个根分别是x1和x2，求下列式子的值：（1）（x1+2）（x2+2）（2）222121xxxx5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.【课后作业】姓名成绩家长签名1、如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）2、设关于x的方程02)12(22kxkx的两实数根的平方和是11，求k的值。3、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：列方程解应用题月日姓名：3、学会分析具体问题中的数量关系，建立数学模型并解决实际问题4、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养【知识要点】1、一元二次方程的解法：①配方法；②公式法；③十字相乘法2、列方程解应用题的一般步骤：（1）要读懂题目中的关键词以及所涉及的运算；（2）用字母x表示未知数，并准确的用含有x的代数式表示题目中涉及的量；（3）努力找出相等关系，列出方程并求出其根；（4）结合实际情况选择恰当的根。【典型例题】翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）例1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．解：设道路宽为x米，根据题意，得答：本方案的道路宽为米．⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．解：设道路宽为x米，根据题意，得答：本方案的道路宽为米．⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．解：设道路宽为x米，根据题意，得例2、某乡产粮大户，1995年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，1997年粮食产量上升到60.5吨．求平均每年增长的百分率．例3、有一件工作，如果甲、乙两队合作6天可以完成；如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需几天完成?3220图13220图23220图3翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）例4、某商店将每件进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？例5、有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。求原来的两位数。例6、甲、乙二人分别从相距20km的A、B两地以相同的速度同时相向而行。相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1km，结果甲到达B地后乙还要30分钟才能到达A地。求乙每小时走多少km?【经典练习】1、要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是5283cm的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？88x翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）2、某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.3、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?4、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？5、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）6、甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相等，又知每小时甲、乙二人一共做了35个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件?翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）【课后作业】姓名成绩家长签名1、若两个连续正整数的平方和为313，求这两个连续正整数。2、一块面积是600m2的长方形土地，它的长比宽多10m，求长方形土地的长与宽。3、舟山市按“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为1995年的社会总产值，可视为1）4、客机在A地和它西面1260km的B地之间往返，某天，客机从A地出发时，刮着速度为60km/h的西风，回来时，风速减弱为40km/h，结果往返的平均速度，比无风时的航速每小时少17km。无风时，在A与B之间飞一趟要多少时间?翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）一元二次方程（综合）月日姓名：5、复习一元二次方程整章的知识，对该章的内容有整体的掌握6、进一步掌握解一元二次方程的各种方法，并会灵活运用7、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02cbxax（a、b、c、为常数，0a）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。2、用配方法解一元二次方程3、用公式法解一元二次方程（1）当042acb时，aacbbx242，方程有两个不相等的实数根；（2）当042acb时，abx2，方程有两个相等的实数根；（3）当042acb时，一元二次方程无实数解4、用分解因式法解一元二次方程：把方程变形为0ba，则0a或0b5、列一元二次方程解实际问题，灵活运用各种方法解一元二次方程【典型例题】例1、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________，一次项系数为__________，常数项为__________.例2、方程01)1()1(22xmxm，当_________时，方程为一元二次方程；当________时，方程为一元一次方程。例3、一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）A.(x－1)2=m2+1B.(x－1)2=m－1C.(x－1)2=1－mD.(x－1)2=m+1例4、用恰当的方法解一元二次方程（1）3x2－10x+6=0（2）3x(2－3x)=－1（3）0)12(3)12(2xx（4）(2x+1)2+3(2x+1)+2=0翰林教育初二数学陶老师地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）例5、若053,05322qqpp，且qp，试求2211qp的值？例6、如右图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？例7、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？【经典练习】一、填空题1、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________，一次项系数为__________，常数项为__________.2、如果方程ax2+5=(x+2)(x－1)是关于x的一元二次方程，则a__________.3、填写适当的数使下式成立.①x2+6x+______=(x+3)2②x2－______x+1=(x－1)2③x2+4x+______=(x+______)24、当k__________时，一元二次方程0)1(2kxkx有一个根是05、已知两个数