一元二次方程讲义

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翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)第6讲判别式和根与系数的关系【学习目标】1、使学生会运用根与系数关系解题2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解,培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式:acb42,(1)当042acb时,方程有两个不相等的实数根,aacbbx242;(2)当042acb时,方程有两个相等的实数根,abxx221;(3)当042acb时,方程无实数解。2、一元二次方程根与系数关系的推导:对于一元二次方程02cbxax其中0a,设其根为21,xx,由求根公式aacbbxx24221,有abxx21,acxx213、常见的形式:(1)212212214)()(xxxxxx(2))(3)(21213213231xxxxxxxx(3)21221214)(xxxxxx【典型例题】例1当m分别满足什么条件时,方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0,(1)有两个相等实根;(2)有两个不相实根;(3)无实根;(4)有两个实根.例2、已知方程022cxx的一个根是3,求方程的另一个根及c的值。翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)例3、已知方程0652xx的根是x1和x2,求下列式子的值:(1)2221xx+21xx(2)1221xxxx例4、已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1,x2,且31121xx,求①m的值;②求x12+x22的值.例5、已知关于x的方程(1)03)21(22axax有两个不相等的实数根,且关于x的方程(2)01222axx没有实数根,问a取什么整数时,方程(1)有整数解?【经典练习】姓名:成绩:一、选择题1、方程012kxx的根的情况是()A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、与k的取值有关翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)2、已知关于x的一元二次方程0)1()1(22kxk的两根互为倒数,则k的取值是().A、2B、2C、2D、03、设方程0532qxx的两根为1x和2x,且0621xx,那么q的值等于().A、32B、-2C、91D、924、如果方程12mxx的两个实根互为相反数,那么m的值为()A、0B、-1C、1D、±15、已知ab≠0,方程02cbxax的系数满足acb22,则方程的两根之比为()A、0∶1B、1∶1C、1∶2D、2∶3二、填空题1、已知方程0432xx的两个根分别是x1和x2,则21xx=_____,21xx=_____2、已知方程02baxx的两个根分别是2与3,则a,b3、已知方程032kxx的两根之差为5,k=4、(1)已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m=(2)方程05242mxx的一个根是另一个根的5倍,则m=;5、以数21,21为根构造一个一元二次方程三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22xmxm的根的情况并根据下列条件确定m的值。(1)两实数根互为倒数(2)两实数根中有一根为1。2、求证:不论k取什么实数,方程0)3(4)6(2kxkx一定有两个下相等的实数根?翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)3、已知方程032cxx的一个根是2,求另一个根及c的值。4、已知方程20542xx的两个根分别是x1和x2,求下列式子的值:(1)(x1+2)(x2+2)(2)222121xxxx5、已知两个数的和等于-6,积等于2,求这两个数.【课后作业】姓名成绩家长签名1、如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根,求方程的另一个根及b的值.翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)2、设关于x的方程02)12(22kxkx的两实数根的平方和是11,求k的值。3、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数关系,求下列各式的值:列方程解应用题月日姓名:3、学会分析具体问题中的数量关系,建立数学模型并解决实际问题4、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养【知识要点】1、一元二次方程的解法:①配方法;②公式法;③十字相乘法2、列方程解应用题的一般步骤:(1)要读懂题目中的关键词以及所涉及的运算;(2)用字母x表示未知数,并准确的用含有x的代数式表示题目中涉及的量;(3)努力找出相等关系,列出方程并求出其根;(4)结合实际情况选择恰当的根。【典型例题】翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)例1、台门中学为美化校园,准备在长32米,宽20米的长方形场地上,修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校学生参与图纸设计.现有三位学生各设计了一种方案(图纸如下所示),问三种设计方案中道路的宽分别为多少米?⑴甲方案图纸为图1,设计草坪总面积540平方米.解:设道路宽为x米,根据题意,得答:本方案的道路宽为米.⑵乙方案图纸为图2,设计草坪总面积540平方米.解:设道路宽为x米,根据题意,得答:本方案的道路宽为米.⑶丙方案图纸为图3,设计草坪总面积570平方米.解:设道路宽为x米,根据题意,得例2、某乡产粮大户,1995年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田,1997年粮食产量上升到60.5吨.求平均每年增长的百分率.例3、有一件工作,如果甲、乙两队合作6天可以完成;如果单独工作,甲队比乙队少用5天,两队单独工作各需几天完成?3220图13220图23220图3翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)例4、某商店将每件进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价提高0.5元其销售量就减少10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元?例5、有一个两位数,它十位上的数字与个位上的数字的和是8。如把十位上的数字和个位上的数字调换后,所得的两位数乘以原来的两位数,就得到1855。求原来的两位数。例6、甲、乙二人分别从相距20km的A、B两地以相同的速度同时相向而行。相遇后,二人继续前进,乙的速度不变,甲每小时比原来多走1km,结果甲到达B地后乙还要30分钟才能到达A地。求乙每小时走多少km?【经典练习】1、要做一个高是8cm,底面的长比宽多5cm,体积是5283cm的长方体木箱,问底面的长和宽各是多少?88x翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)2、某商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.3、A、B两地相距82km,甲骑车由A向B驶去,9分钟后,乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去,两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?4、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?5、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)6、甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相等,又知每小时甲、乙二人一共做了35个零件,求甲、乙每小时各做多少个零件?翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)【课后作业】姓名成绩家长签名1、若两个连续正整数的平方和为313,求这两个连续正整数。2、一块面积是600m2的长方形土地,它的长比宽多10m,求长方形土地的长与宽。3、舟山市按“九五”国民经济发展规划要求,1997年的社会总产值要比1995年增长21%,求平均每年增长的百分率.(提示:基数为1995年的社会总产值,可视为1)4、客机在A地和它西面1260km的B地之间往返,某天,客机从A地出发时,刮着速度为60km/h的西风,回来时,风速减弱为40km/h,结果往返的平均速度,比无风时的航速每小时少17km。无风时,在A与B之间飞一趟要多少时间?翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)一元二次方程(综合)月日姓名:5、复习一元二次方程整章的知识,对该章的内容有整体的掌握6、进一步掌握解一元二次方程的各种方法,并会灵活运用7、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养【知识要点】1、一元二次方程的定义:只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为02cbxax(a、b、c、为常数,0a)的形式,这样的方程叫做一元二次方程。2、用配方法解一元二次方程3、用公式法解一元二次方程(1)当042acb时,aacbbx242,方程有两个不相等的实数根;(2)当042acb时,abx2,方程有两个相等的实数根;(3)当042acb时,一元二次方程无实数解4、用分解因式法解一元二次方程:把方程变形为0ba,则0a或0b5、列一元二次方程解实际问题,灵活运用各种方法解一元二次方程【典型例题】例1、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________,一次项系数为__________,常数项为__________.例2、方程01)1()1(22xmxm,当_________时,方程为一元二次方程;当________时,方程为一元一次方程。例3、一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程,配方后的方程为()A.(x-1)2=m2+1B.(x-1)2=m-1C.(x-1)2=1-mD.(x-1)2=m+1例4、用恰当的方法解一元二次方程(1)3x2-10x+6=0(2)3x(2-3x)=-1(3)0)12(3)12(2xx(4)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0翰林教育初二数学陶老师地址:凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号(柏杨小学旁)例5、若053,05322qqpp,且qp,试求2211qp的值?例6、如右图,某小区规划在长32米,宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路,使其中两条与AD平行,一条与AB平行,其余部分种草,若使草坪的面积为566米2,问小路应为多宽?例7、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,商店想在月销售成本不超过1万元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?【经典练习】一、填空题1、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________,一次项系数为__________,常数项为__________.2、如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a__________.3、填写适当的数使下式成立.①x2+6x+______=(x+3)2②x2-______x+1=(x-1)2③x2+4x+______=(x+______)24、当k__________时,一元二次方程0)1(2kxkx有一个根是05、已知两个数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