数学选修2-3-2.4：正态分布(公开课课件)

2.4正态分布我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率≥0，人们感兴趣的是它取不同值的概率，即研究其分布列.引入连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度曲线描述.思考：连续型随机变量的概率分布规律又怎样研究呢？你知道高尔顿板试验吗?原则.新课探究返回我们以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图123456球槽编号频率组距新课探究7891011试验思考：球槽数增加，重复次数增加，频率分布直方图怎么变化？频率组距随着重复次数的增加，球槽数增加直方图的形状会越来越像一条“钟形”曲线球槽编号新课探究这条曲线（就是或近似地是）下面函数的图象：22()21(),(,)2xxex其中实数和(0)为参数,分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布.()x的图象称为正态分布密度曲线,简称正态曲线.正态分布完全由参数和确定,因此正态分布常记作2(,)N.如果随机变量服从正态分布,则记为2(,)N正态分布密度曲线定义：易知落在区间(a,b]的概率为:aby,()yx,()()baPabxdx≤该区间所夹面积的意义总体平均数反映总体随机变量的平均水平平均数=μ产品尺寸(mm)总体平均数反映总体随机变量的平均水平总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度平均数的意义12（1）当=时,函数值为最大.(3)的图象关于对称.（2）的值域为（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.,()x,()xxxx()x()x正态曲线的函数表示式1(0,]2（－∞,]（，+∞）012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线x22()21(),(,)2xxex例1、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.22()21(),,(0)2xfxe都是实数222()2xfxe2(1)41()22xfxe221()2xfxeB正态曲线的性质012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征22()21(),(,)2xxex（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)1σ2π（4）曲线与x轴之间的面积为1213σ=0.5μ=-1μ=0μ=1若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数；3、正态曲线的性质均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2μ=0若固定,大时,曲线矮而胖；小时,曲线瘦而高,故称形状参数3、正态曲线的性质σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；3、正态曲线的性质22()21()2xxe正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)＝S(-,-X)正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1-x2x2x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4、特殊区间的概率:μ-aμ+ax=μ若X~N,则对于任何实数a0,概率为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和a而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。2(,)(,]aa()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX特别地有我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。2,23,3由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX当3a时正态总体的取值几乎总取值于区间(3,3)之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3原则.例在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即~N(90,100).（1）试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？2、已知X~N(0,1)，则X在区间内取值的概率等于（）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02283、设连续型随机变量X~N(0,1),则=,=.4、若X~N(5,1),求P(6X7).(,2)(0)PX(22)PXD0.50.9544