二次函数解析式的几种解法

执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获求二次函数的解析式2015.10.12执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获复习抛物线的对称轴及顶点坐标：cbxaxy2(1)对称轴：直线(2)顶点坐标：abx2)44,2(2abacab执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获2(1)231yxx1.求下列函数的对称轴和顶点坐标2(2)2223yxx解：2,3,1abc2baQ332(2)4244acba24(2)134(2)178对称轴直线方程34x顶点坐标317(,)48解：2,22,3abc2baQ222222244acba242(3)(22)4224884对称轴直线方程22x顶点坐标2(,4)2执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获已知一次函数的图像经过点A(0,-3)点(2,-1)，求一次函数的解析式解：∵点A(0,-3)点B(2,-1)在所求的一次函数y=kx+b的图象上。所以解得：所以所求的一次函数解析式为y=x-3设所求的一次函数的解析式y=kx+b为（k≠0）3012kckc13kc一、设二、代三、解四、还原执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获二次函数解析式有哪几种表达式？1.一般式：y＝ax2+bx+c(a≠0)2.顶点式：y＝a(x-h)2+k(a≠0)特殊形式3.交点式：y＝a(x-x1)(x-x2)(a≠0)执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获知识讲解1.用待定系数法求二次函数的解析式主要步骤（1）设：设函数的一般形式（2）把点的坐标代人函数关系式中（3）求出函数中字母常数（4）代回（1）求出函数解析式怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青年无悔的选择。执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题1：二次函数的对称轴是y轴，顶点是原点，且图象经过点（-3,4）;求二次函数的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2(a≠0)∵点（-3,4）在函数y=ax2图象上∴4=a×（-3）2即：9a=449a函数的解析式是：249yx用待定系数法求二次函数的解析式执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题2：抛物线的顶点坐标是（0，-3）,点（2,1）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2+k(a≠0)∵抛物线的顶点坐标是（0，-3）∴k=-3①∵点（2,1）在函数y=ax2+k的图象上，∴1=a×22+k②由①和②得：a=1这个抛物线的解析式:y=x2-3执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题3：抛物线的顶点坐标是（-3，0）,点（-2,25）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2(a≠0)∵抛物线的顶点坐标是（-3，0）∴h=-3①∵点（-2,25）在函数y=a(x-h)2的图象上，∴25=a×(-2-h)2②由①和②得：a=25这个抛物线的解析式:y=25(x+3)2执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题4：抛物线的顶点坐标是（-2，2）,点（-1,-5）在函数的图象上，求这个抛物线的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2+k(a≠0)∵抛物线的顶点坐标是（-2，2）∴h=-2,k=2①这个抛物线的解析式:y=a(x+2)2+2∵点（-1,-5）在函数y=a(x-h)2+k的图象上，∴-5=a×(-1+2)2+2②由②得：a=-7这个抛物线的解析式:y=-7(x+2)2+2执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题5：抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（-2，2）点B（-1,-5）求这个抛物线的解析式？解：根据题意知：点A（-2，2）点B（-1,-5）在函数y=x2+bx+c的图象上∴2=（-2）2+（-2）×b+c①∴-5=（-1）2+（-1）×b+c②联立①和②解得：b=-4;c=-10这个抛物线的解析式:y=x2-4x-10执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题6：已知抛物线图象与y=2x2形状，大小相同。抛物线顶点的横坐标是3；且函数的图象经过点A（4,6）求这个抛物线的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：y=a(x-h)2+k(a≠0)∵抛物线的图象经过点A（4，6）抛物线图象与y=2x2形状，大小相同∴a=2①抛物线顶点的横坐标是3∴h=3②∴6=2×(4-3)2+k③由③解得：k=4这个抛物线的解析式:y=2(x-3)2+4执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题7：二次函数的对称轴是y轴,图象经过点A（-3,2）和点B（2,7）;求二次函数的解析式？解：根据题意设函数的解析式是：y=ax2+k(a≠0)∵点A（-3,2）和点B（2,7）在函数y=ax2+k图象上∴2=a×（-3）2+k①∴7=a×22+k②联立①和②解得：a=-1;k=11这个抛物线的解析式:y=-x2+11执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题8：二次函数y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位长度，在向下平移2个单位，得到函数y=x2+2x+3求a,b,c的值和求二次函数的解析式。解：∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2(a≠0)抛物线顶点坐标是(-1,2)把函数y=（x+1）2+2图象向上平移2个单位得y=（x+1）2+4向左平移3个单位长度y=（x+4）2+4即：y=ax2+bx+c=（x+4)2+4即：a=1,b=8,c=20二次函数的解析式为y=ax2+bx+c=（x+4)2+4执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题9：抛物线过点(0,0)(1,2)(2,3)三点，求函数的解析式解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c点(0,0)(1,2)(2,3)在二次函数图象上000c2abc342abc解得：12a52b0c所求的抛物线解析式为:xxy25221（3）求出函数中字母常数a,b,c的值小结：过三点求出抛物线解析式（1）设出二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)（2）将题目中三点坐标代入已设函数解析式中（3）把a,b,c的值代人函数解析式中执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获练习题：已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+ca-b+c=0a+b+c=0c=1a=-1b=0c=1解得故所求的抛物线解析式为y=-x2+1执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题10：抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=2，且函数的最大值是-3,求抛物线的解析式。解：∵抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=2，且函数的最大值是-3∴抛物线的顶点坐标(2,-3)22bxaQ222a22442344acbacaaQ①②联立①和②解得：15ac12a∴抛物线的解析式21252yxx执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例题11：二次函数的图象与X轴交于A(2,0),B(-1,0)且过点(0,-2),求二次函数的解析式。解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1)把点(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2解得a=1∴y=(x-2)(x+1)即:y=x2-x-2本例中函数的图像与x轴的交点A(x1,0),B(x2,0)求函数的解析式通过设为y=a(x-x1)(x-x2)；代值求出a在求出函数的解析式。执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获1.已知抛物线y=x2-4x+c(1)过点A(1,3)求c例题12：(2)顶点在X轴上，求c解：∵(1)点A(1,3)在抛物线y=x2-4x+c上,求得c=6∴3=12-4×1+C∴抛物线的解析式是y=x2-4x+6解：∵抛物线y=x2-4x+c=（x-2)2+(4-c)∴抛物线的顶点坐标是（2,4-c)抛物线的顶点坐标在x轴上。∴4-c=0∴c=4执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获抛物线y=2x2+bx+c过点(2,3)且顶点在直线y=3x-2上求抛物线的解析式例题13：解：∵抛物线的顶点坐标顶点在直线y=3x-2上，∴设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2)∴抛物线的解析式变形为y=2(x-m)2+(3m-2)∵点（2,3）在抛物线y=2(x-m)2+(3m-2)图像上∴3=2(2-m)2+(3m-2)∴m=1，23m252)23(212)1(2xyxy或执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获例14.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?xOy123123AB(1，3)解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3)∵这段抛物线经过点(3,0)∴0=a(3－1)2＋3解得:34a=－因此抛物线的解析式为:y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－当x=0时,y=2.25答:水管长应为2.25m.执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获22yaxxc已知抛物线(已知一个二次函数的图象是由y=2x2平移得到的，且函数的图象过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解得：a=2,b=-3c=5因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青年无悔的选择。执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组执教人生桃李天下2015年白沙中学数学组春天辛勤的耕耘秋天丰厚的收获怀念是年少时一种梦想；追求是人生的一道风景线。努力学习是我们青年无悔的选择。如图：已知抛物线的顶点为x=-1;函数的最小值是-4，图象又经过点C(2，5)，求其