数理统计

数理统计题第一章例1：将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去,试求下列事件的概率：（1）每个盒子至多有一只球；（2）某指定的n个盒子各有一个质点；（3）任意n个盒子中各有一个质点；（4）某指定盒中恰有m个质点。例2：袋中有a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样,求第i(i=1,2,...,k)个人取到白球(记为事件B)的概率(ka+b).例3：8只乒乓球队中，有两个强队，将8个球队任意分为两组（每组4个队）进行比赛，求这两个强队被分在一个组内的概率是多少？)BA(P)4()BA(P)3()BA(P)2()AB(P1.3.0)B(P,2.0)BA(P,5.0)A(P4）（求：：已知例例5：将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况.设事件A为“至少有一次为H”,事件B为“两次掷出同一面“.现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.例6：已知某批产品的合格率为0.9，检验员检验时，将合格品误认为次品的概率为0.02,而一个次品被误认为合格的概率为0.05.求：(1)检查任一产品被认为是合格品的概率(2)被认为是合格品的产品确实合格的概率例7.：甲乙两人独立对目标射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，求是被甲击中的概率。例8.：设10件产品中有4件不合格，从中任取2件，求:（1）两件都不合格的概率。（2）已知第一件合格，第二件也合格的概率。（3）在这2件中已知有1件不合格，另一件也不合格的概率。例9：对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率是多少?例10：玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只次品的概率分别是0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，购买时，随意抽取一箱，顾客开箱随机查看4只，若无次品则购买。求（1）顾客买下该箱的概率（2）顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率例11：设三次独立试验中事件A出现的概率相等，已知A至少发生一次的概率为19/27,求数理统计题A最多发生一次的概率。例12：已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/8,求A,B,C全不发生的概率。第二章例1：某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的概率为十万分之一，若每周买一张彩票，坚持买了十年，试求从未中过大奖的概率。例2：设1小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布，已知1小时内无人进入图书馆的概率为0.01，求一小时内至少有两人进入图书馆的概率。例3：}21{)3()(210,0,0,)(2/2xPxfBAxxBeAxFx）（的值与）求：（例4:电子元件的寿命X(年）服从参数为1/3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？例5:设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管的使用寿命X的概率密度函数为：求（1）开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）分布函数F(x)例6:设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率。例7:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).例8：).()(),1,0(~XDXENX和求设例9：求二项分布方差;求泊松分布方差；例10：}1Y{,95}1{),,3(~),,2(~.PXPPBYPBX求：若例11：.用抽样调查检查某地人口普查的质量，抽查了1000户的登记卡片，发现某些卡片有1个错误，少数有两个错误，极少有3个错误，总的来看，错误的多少与卡片的数目成比例，这1000张卡片共有30个错误。试求随机抽取10张卡片而没有发现错误的概率。2100,100()0xfxx；，其它数理统计题例12：某超市平均每小时72人光顾，那么在3分钟之内到达4名顾客的概率是多少？例13：已知某工厂生产的笔记本的使用寿命服从参数=0.4的指数分布。厂家承诺，如果电池在半年之内不能使用的话，可以免费更换。已知能够正常使用的电池的平均利润为每个200元，更换电池的成本每个600元，该厂家最终的平均利润是多少？第三章考点一：样本均数：niiXnX11样本方差：niiXXnS12211标准样本方差：niiXXnS1211样本的偏度和峰度：421214313)3)(2)(1(])()[1(3)()1()2)(1()(snnnxxnxxnnKusnnxxnSKniiniinii考点二：样本标准误：kiixkx111)(12kxxSkiix考点三：575.296.1645.1005.0025.005.0zzzt分布：设)(~,)1,0(~2nYNX，XY相互独立nYXT则称T服从自由度为n的T分布F分布：设)(~),(~22mYnX，XY相互独立mYnXF//则称F服从为第一自由度为n,第二自由度为m的F分布)1,0(~NnXXSSn数理统计题)1(~)1(222nSn)1(~ntnSX)1,1(~2122222121nnFSS)2(~112)1()1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX)1,0(~)()(),(~2221212122212121NnnYXnnNYX第四章考点一：正态总体均数的估计(1)方差2已知，的置信区间：),(22nzXnzX(2)方差2未知，的置信区间：nSntXnSntX)1(,)1(22(3)当未知时，方差2的置信区间：)1()1(,)1()1(2122222nSnnSn例1：已知某地幼儿的身高服从正态分布。现从该地一幼儿园大班抽查9名幼儿，测的身高（单位：厘米）分别为：115，120，115，131，109，115，115，105，110设大班幼儿园身高总体的标准差为7厘米，在置信水平为0.95下，求总体均值的置信区间。例2：设X的样本方差为1，样本容量为100，样本均值为5,求总体均值置信水平为0.95的置信区间。例3：为了估计产品使用寿命的均值和方差，测试了10件产品，求得样本均值为1500，标准差为20，已知产品使用寿命服从正态分布，求总体均值和标准差置信度为0.95的置信区间。数理统计题考点二：正态总体均数之差的区间估计（1）2221,已知，21的置信区间：)(2221212nnZYX（2）2221,未知，21的置信区间：同方差大样本：同方差小样本：2)1()1(11)(21222211212nnSnSnnntYX异方差大样本：异方差小样本：例5：甲医院治愈2570名病人，平均住院天数为13.60天，乙医院治愈2000名病人，平均住院天数为14.36天，根据经验，住院天数的标准差甲院为1.25天，乙院为1.16天，做出两院平均住院天数差的区间估计。(假设两院住院天数服从正态分布，给定1-α=0.95)例6：为研究正常成年男女血液红细胞的平均数之差别，检查某地正常成年男子156名，正常成年女子74名，计算得男性红细胞平均数为465.13万/(mm)3，样本标准差为54.80万/(mm)3；女性红细胞平均数为422.16万/(mm)3，样本标准差为49.2万/(mm)3。试计算该地正常成年男女的红细胞平均数之差的置信区间(置信度为0.99)例7：设超大牵伸纺机的抗拉强度和普通纺机的抗拉强度服从正态分布，标准差分别为2.18,1.76。现对前者抽取样本容量为200的样本，对后者抽取100的样本，经计算均值分别为5.32和5.76.求均值之差置信度为0.95的置信区间。例8：从甲乙两厂生产的蓄电池产品中，分别抽取一批样品，测得蓄电池的电容量如下：甲厂：144141138142141138143137乙厂：142143139140138141140138142136求（1）电容量方差之比置信度为0.95的置信区间（2）电容量均值之差置信度为0.95的置信区间（设总体方差相等）2212212aSSxyunn2212122aSSxyunn2212122aSSxytnn2221212222211221211SSnndfSnSnnn数理统计题考点三：例9：用某种中医疗法治疗青少年近视眼15例，有效例数10例，试求有效总体率的95%的置信区间。例10：某医院用复方当归注射液静脉滴注治疗脑动脉硬化症188例，其中显效83例，试估计当归注射液显效率的置信区间(α=0.05)。第五章例1：某药厂用一台包装机包装硼酸粉，额定标准为每袋净重0.5kg,设每袋硼酸粉重服从正态分布，且根据长期的经验知其标准差(0.014kg)。某天开工后，为检验包装机的工作是否正常，随机抽取它所包装的硼酸粉10袋，称得净重(kg)为0.4960.5100.5150.5060.5180.4970.4880.5110.5120.524问这天包装机的工作是否正常？例2：某药厂原来生产的一种安眠药，经临床使用测得平均睡眠时间为18.6小时，标准差为1.5小时，该厂技术人员为了增加睡眠时间，改进了旧工艺，为检验是否达到了预期的目的，收集了一组改进工艺后生产的安眠药的睡眠时间：23.4，25.6，24.3，21.2，21，26，25.5，26.2，24.3，24。试问，从收集到的数据能否说明改进了工艺后生产的安眠药提高了疗效。(假定睡眠时间服从正态分布显著水平为0.05)例3：某药厂生产某种中药丸，要求有效期不得低于1000天，现从某一天生产的药丸中随机抽取25个，测得其有效期平均值为950天。已知该种药丸的有效期服从标准差为σ=100天的正态分布，试在显著水平0.05下检验这天生产的药丸有效期的均值是否小于1000天。例4：某中药厂用旧设备生产的六味地黄丸，丸重的均数为8.9g，更新了设备后，从所生产的产品中随机抽取9丸，其重量为：9.2，10，9.6，9.8，8.6，10.3，9.9，9.1，8.9。问设备更新前后药丸的平均重量是否有变化？(假设丸重服从正态分布，α=0.10)例5：甲药厂进行有关麻疹疫苗效果的研究，用X表示一个人用这种疫苗注射后的抗体强度，假定随机变量X是服从正态分布，另一家与之竞争的乙药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度为1.9，若甲厂为证实其产品有更高的平均抗体强度，从产品中随机地抽取了16个样本值：1.22.51.91.52.71.72.22.23.02.41.82.63.12.32.42.1试问据该样本值能否证实甲厂平均抗体强度高于乙厂(α=0.05)。例6：某药厂生产甘草流浸膏，现从产品中随机地抽取4个样品，测得甘草酸含量的均数=8.30(%)，标准差S=0.03(%)，设测定值总体服从正态分布，据以往的经验，甘草流膏中甘草酸含量的均数为8.32(%)，试在显著水平0.05下，检验此厂生产的甘草流浸膏中甘草酸的含量是否低于总体水平。例7：某剂型药物正常的生产过程中，含碳量服从正态分布N（1.408,0.048*0.048），今从某班产品中任取5件，测量其含碳量为1.32，1.55，1.36，1.40和1.44(%)。问这个班生产的药物含碳量的总体方差是否正常?(α=0.10)数理统计题例8：某药厂准备生产一批新药通