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测量鱼重量模型作者：张在宝王振张旭东摘要：垂钓俱乐部通过测量鱼的长度来估计鱼的重量。这是一个非常实际的问题，由此我们可以设法建立一种测量鱼重量的模型，来解决一系列类似的问题。身长36.831.843.836.832.145.135.932.1重量76548211627374821389652454胸围24.821.327.924.821.631.822.921.6有这些数据，我们可以借助matlab软件进行数据拟合，得到参数方程以及大体的曲线图形.一：问题分析通过测量鱼的长度估计鱼的重量，我们不能陷入对鱼复杂生理结构的研究，否则将复杂化，得不到有使用价值的模型，经过大量的分析研究，我们利用类比方法以及鱼的体形都是相似的，找出鱼的身长，胸围和体重三者的比例关系，进而建立了测量鱼重量的模型。二：模型假设1：池塘里的鱼体型都是相似的；2：每条鱼被钓上的几率是相等的;3：鱼肉的密度是相等的：4：不区别鱼的雌雄且鱼的肥瘦均匀；5.鱼的胸围指鱼身的最大周长；6.池塘的鱼都是在同一条件下生长；三：符号的说明身长重量胸围胸围所对应截面积鱼体积鱼的平均截面积lMpsvS1四：模型的建立在这里我们没有将鱼的身体比拟成圆柱体或是椭圆柱体，而是根据几何的相关知识，建立如下模型:由于认为鱼肉分布均匀密度等同故可得：m∝v(1)l/p是鱼身长与最大胸围之比，如果l/p太大，鱼在水中遇到的阻力增大；如果l/p太小，其自身的生长不能达到一种自然吻合，无疑是不利于生存，因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言l/p已经达到其最适合的数值，换句话说，l/p应视为与这种鱼的尺寸无关的常数，于是可得到：p∝l(2)由于池塘里的鲈鱼体形都是相似的，对于两条鱼而言，由数学中相似原理得：s∝p^2(3)又由于：s∝s1(4)则有：s∝l^2(5)由体积公式：v∝s1*l(6)由（5）可得：v∝s*l(7)综上比例关系可得:v∝l^3（8）即得m∝l^3(9)五：模型的检验为了用表1中鱼的身长与体重的数据检验（7）式，设m=al^b(10),其中a,b为待定参数，由（10）式logm=a’+blogl(11),利用最小二乘法根据所给数据拟合上式得到m=1.322﹡10^(-2)l^3.0265(12)可以看出（9）式与这个结果吻合的相当好。六：模型评价这个模型的建立在一些不太精细的假设基础上，因为我们只关心能够根据身长与胸围来估计鱼的重量，所以数学工具只用到比例方法进行比拟，用这种方法建模，虽然不能得到关于体重的完整精确的表达式，但对于我们建模目的来说足够了，最后的结果与实际数据吻合的如此之好，恐怕有很大的巧合成分。七：参考文献（1）数学建模（第三版）姜启源谢金星叶俊编八：附录1.利用最小二乘法在matlab软件中求参数的程序如下：l=[36.8,31.8,43.8,36.8,32.1,45.1,35.9,32.1];m=[765,482,1162,737,482,1389,652,454];plot(l,m,'o');c=log(l);b=log(m);p=polyfit(c,b,l)p=3.0265-4.32572.用matlab画出拟合图形程序如下：l=[36.8,31.8,43.8,36.8,32.1,45.1,35.9,32.1];m=[765,482,1162,737,482,1389,652,454];plot(l,m,'o');c=log(l);b=log(m);p=polyfit(c,b,1)l1=31.8:0.5:45.1;m1=polyval(p,l1);fplot('l^(3.0265)',[31.845.1])3.详细图表4.求解结果鱼的重量鱼身长满足的方程式：m=1.322﹡10^(-2)l^3.0265